2 questões de Matrizes e sistemas lineares resolvidas
Questão 1 · Unesp 2020 · Questão 90média
Considere os polinômios
Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que m seja igual a
A
30.
B
12.
C
– 12.
D
– 3.
E
– 30.
Ver gabarito e resolução
Gabarito: A
1. Calcule os determinantes q(x) = 1 · x − 3 · 1 = x − 3
p(x), pela regra de Sarrus: p(x) = x · x · x + 1 · (−1) · m + 0 − [0 · x · m + x · (−1) · x + 1 · 2 · x] p(x) = x³ − m − (−x² + 2x) = x³ + x² − 2x − m
2. Divisibilidade p(x) é divisível por x − 3 quando p(3) = 0 (teorema do resto): 27 + 9 − 6 − m = 0 ⇒ m = 30
Resposta: A
Por que as outras atraem: E (−30) aparece quando se troca o sinal do termo com m no determinante.
Questão 2 · Unesp 2019 · Questão 77média
Duas caixas, A e B, estão apoiadas, em repouso, sobre uma barra homogênea reta presa pelo seu ponto médio (ponto O) ao teto por meio de um fio inextensível. A caixa A está colocada a uma distância x do ponto O e a caixa B a uma distância y desse ponto. Nessa situação, a barra exerce sobre a caixa A uma força NA e, sobre a caixa B, uma força NB.
Uma matriz quadrada M é construída de forma que seus elementos são as intensidades de NA e NB e as distâncias x e y, tal que
M = [NA NB ; y x] (1ª linha: NA e NB; 2ª linha: y e x).
Sendo Mt a matriz transposta de M e considerando-se o sentido anti-horário como o positivo para a rotação, para que a barra permaneça em equilíbrio na horizontal é necessário que
A
det (Mt) = 0.
B
det M < 0.
C
det M ≠ 0.
D
det (Mt) ≠ 0.
E
det M > 0.
Ver gabarito e resolução
Gabarito: A
1. Condição de equilíbrio
A barra está presa pelo ponto médio O, e seu peso atua em O (não gera momento). As caixas empurram a barra para baixo com forças iguais a NA e NB (ação e reação). Para a barra não girar, os momentos em relação a O se anulam:
NA · x = NB · y → NA · x – NB · y = 0
2. Determinante de M
M = [NA NB ; y x]
det M = NA · x – NB · y = 0
3. Transposta
O determinante não muda na transposição: det(Mt) = det M = 0.
Resposta: A
Por que as outras atraem: B, C, D e E descrevem um momento resultante diferente de zero; nesse caso a barra giraria (o sinal só indicaria o sentido da rotação).
Dica: det At = det A para qualquer matriz quadrada.
