Unesp · Matemática

Questões de Geometria plana (áreas e perímetros) da Unesp

10 questões oficiais da Unesp sobre Geometria plana (áreas e perímetros), de 2016 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 1 fácil, 9 médias.

Treine Geometria plana (áreas e perímetros) com 10 questões da Unesp

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6 questões de Geometria plana (áreas e perímetros) resolvidas

Questão 1 · Unesp 2026 · Questão 87média

A figura indica o pentágono UNESP, formado pelo quadrado UNSP e pelo triângulo equilátero NES, que compartilham o lado NS, de medida igual a 4 cm. Sabe-se, ainda, que a circunferência indicada na figura possui centro N e tangencia SE no ponto T.

Adotando

da região do pentágono UNESP, aquela que está ocupada pelo setor circular de centro N, indicado na figura em azul, corresponde a

A
68,5%.
B
66,5%.
C
70,5%.
D
72,5%.
E
74,5%.

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Gabarito: A

1. Raio da circunferência: ela tem centro N e tangencia o lado SE em T. O raio NT é perpendicular a SE, portanto é a altura do triângulo equilátero NES, de lado 4 cm:
r = 4√3/2 = 2√3 cm (r² = 12)

2. Ângulo do setor azul: ele vai do lado NU até o lado NE, passando por NS.
ângulo UNS = 90° (quadrado) + ângulo SNE = 60° (triângulo equilátero) = 150°

3. Área do setor:
A = (150/360) × π × 12 = (5/12) × 12π = 5π cm²

4. Área do pentágono:
quadrado: 4² = 16; triângulo: 4²√3/4 = 4√3
total = 16 + 4√3 = 4(4 + √3) cm²

5. Fração:
5π ÷ [4(4 + √3)] = (5/4) × π/(4 + √3) = 1,25 × 0,548 = 0,685 = 68,5%

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem esquece a parte do setor que fica dentro do triângulo (os 60°) encontra só cerca de 41%.

Dica: tangência sempre dá raio perpendicular à reta tangente.

Questão 2 · Unesp 2024 · Questão 84média

Um trapézio retângulo ABCD foi dividido em um paralelogramo EBCF, um triângulo retângulo EFG e um retângulo AEGD de áreas denotadas por S₁, S₂ e S₃, respectivamente. O trapézio, representado no plano cartesiano, mostra que os vértices dos três polígonos estão perfeitamente situados na interseção de linhas da malha quadriculada.

A relação entre as três áreas mencionadas é:

A
25 · S₁ = 12 · S₂ = 10 · S₃
B
2 · S₁ = S₂ = S₃
C
5 · S₁ = 2 · S₂ = 2 · S₃
D
12 · S₁ = 5 · S₂ = 5 · S₃
E
25 · S₁ = 10 · S₂ = 12 · S₃

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Gabarito: C

Na malha, cada unidade tem 5 quadradinhos, então cada quadradinho mede 0,2.

1. Coordenadas
A(2, 0), D(6,4; 0), E(2, 1), G(6,4; 1), B(2; 1,4), F(6,4; 3), C(6,4; 3,4).
Largura comum: 6,4 – 2 = 4,4.

2. Áreas
- S₃ (retângulo AEGD): 4,4 · 1 = 4,4
- S₂ (triângulo EFG, catetos EG = 4,4 e GF = 2): 4,4 · 2 ÷ 2 = 4,4
- S₁ (paralelogramo EBCF, lados verticais EB = 0,4 e largura 4,4): 0,4 · 4,4 = 1,76

3. Relação
S₂ = S₃ = 4,4 e S₁/S₂ = 1,76/4,4 = 0,4 = 2/5.
Então 5 · S₁ = 8,8 = 2 · S₂ = 2 · S₃.

Resposta: C

Por que as outras atraem: como S₂ = S₃, só (B) e (C) são candidatas; (B) exigiria S₁ = 2,2, metade de S₂, mas a faixa amarela é bem mais estreita.

Dica: área do paralelogramo = base × altura, com a altura perpendicular à base (aqui, a largura horizontal).

Questão 3 · Unesp 2023 · Questão 84média

Examine os dados comparativos simplificados entre Júpiter, Terra e Sol, considerando-se modelos esféricos e movimentos circulares dos planetas em torno do Sol.

fora de escala

Se as medidas do raio da Terra e de TS são, respectivamente, iguais a x e y quilômetros, a menor distância, em quilômetros, entre os centros de Júpiter e da Terra será igual a

A
12x + 4,2y
B
12x + 6,2y
C
12x + 5,2y
D
9x + 6,2y
E
10x + 4,2y

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Gabarito: E

1. Raio de Júpiter: a circunferência é proporcional ao raio (C = 2πr). Se a de Júpiter é 11 vezes a da Terra, o raio de Júpiter é 11x.

2. Distâncias até a superfície do Sol (y = distância TS entre as superfícies da Terra e do Sol):
- superfície da Terra → Sol: y
- superfície de Júpiter → Sol: 5,2y

3. Menor distância entre os centros: acontece com os três alinhados, do mesmo lado do Sol. Medindo a partir da superfície do Sol:
- centro da Terra: y + x
- centro de Júpiter: 5,2y + 11x

Distância = (5,2y + 11x) − (y + x) = 10x + 4,2y

Resposta: E

Por que as outras atraem: A, B e C trazem 12x, que aparece quando se soma o raio da Terra (11x + x) em vez de descontá-lo.

Dica: em distâncias entre centros, sempre transforme "distância entre superfícies" somando os raios certos.

Questão 4 · Unesp 2022 · Questão 84fácil

A curva destacada em vermelho liga os pontos U e P, passando pelos pontos N, E e S.

Considerando as medidas indicadas na figura, uma boa aproximação para a área da superfície sob a curva, destacada em amarelo, é de

A
86,25 cm².
B
72,25 cm².
C
92,75 cm².
D
91,25 cm².
E
88,75 cm².

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Gabarito: D

Aproxime a curva pelos segmentos U–N, N–S e S–P. A região fica dividida em três partes, cada uma com 5 cm de largura:

1. Trapézio sob UN: bases 11,5 e 10,5:
(11,5 + 10,5) ÷ 2 × 5 = 55 cm².

2. Trapézio sob NS: bases 10,5 e 2:
(10,5 + 2) ÷ 2 × 5 = 31,25 cm².

3. Triângulo sob SP: base 5 e altura 2:
5 × 2 ÷ 2 = 5 cm².

Total: 55 + 31,25 + 5 = 91,25 cm².

Resposta: D.

Por que as outras atraem: errar a base de um trapézio (por exemplo, usar 11,5 nas duas pontas) ou esquecer o triângulo final leva a 86,25 ou 88,75.

Dica: área sob uma curva = soma de trapézios (é a ideia da "regra dos trapézios").

Questão 5 · Unesp 2021 · Questão 88média

Durante o surto de covid-19, diversas reportagens procuraram explicar o ritmo de infecções causadas pelo coronavírus nos estados brasileiros. Uma delas mostrou que, nos primeiros 30 dias da pandemia, nos estados que apresentaram maior rapidez de contaminação, o contágio ficou caracterizado por duplicar o número de infectados em um período de tempo variando de 3 a 5 dias. A partir dessa informação, o ilustrador de um jornal sugeriu o esquema seguinte para mostrar a diferença entre os ritmos de contágio.

Dado que a área dos círculos representa o número de infectados e que o círculo inicial possui raio unitário, quais devem ser os valores de r e de R para que a imagem represente corretamente o crescimento indicado nas setas?

A
r = 8 e R = 16.
B
r = 6 e R = 10.
C
r = 8 e R = 32.
D
r = 6 e R = 12.
E
r = 64 e R = 1 024.

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Gabarito: C

A área do círculo representa o número de infectados, e o círculo inicial tem raio 1 (área π).

1. Quantas duplicações em 30 dias:
- A cada 3 dias: 30 ÷ 3 = 10 duplicações → fator 2¹⁰ = 1 024.
- A cada 5 dias: 30 ÷ 5 = 6 duplicações → fator 2⁶ = 64.

2. Do fator de área para o raio. A área é proporcional ao raio ao quadrado, então o raio cresce pela raiz quadrada do fator:
- R = √1 024 = 32
- r = √64 = 8

Resposta: C (r = 8 e R = 32).

Por que as outras atraem: E usa os fatores de área (64 e 1 024) como se fossem os raios; A e D aplicam outras contas de duplicação ao raio.

Dica: se a área é multiplicada por k, o raio (ou qualquer medida linear) é multiplicado por √k.

Questão 6 · Unesp 2017 · Questão 84média

O hexágono marcado na malha quadriculada sobre a fotografia representa o contorno do câmpus da Unesp de Rio Claro, que é aproximadamente plano.

A área aproximada desse câmpus, em km², é um número pertencente ao intervalo

A
[0,8 ; 1,3[
B
[1,8 ; 2,3[
C
[2,3 ; 2,8[
D
[1,3 ; 1,8[
E
[0,3 ; 0,8[

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Gabarito: A

1. Área de um quadradinho. O lado de cada quadradinho da malha vale 160 m = 0,16 km:
0,16 × 0,16 = 0,0256 km².

2. Quadradinhos dentro do hexágono. Divida o hexágono em partes simples (um triângulo grande à direita e um quadrilátero à esquerda) ou conte os quadradinhos inteiros e junte os pedaços. O resultado fica perto de 45 quadradinhos (algo entre 40 e 50).

3. Área. 45 × 0,0256 ≈ 1,15 km². Mesmo com 40 ou 50 quadradinhos, a área fica entre 1,02 e 1,28 km², sempre no intervalo [0,8 ; 1,3[.

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem toma 160 m como a área de um quadradinho, ou esquece de elevar 0,16 ao quadrado, erra a ordem de grandeza; quem conta todo quadradinho cortado como inteiro pode passar de 1,3 km².

Dica: em áreas sobre malha, ache primeiro a área de um quadradinho em km² e só então multiplique.