Unesp · Matemática

Questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) da Unesp

7 questões oficiais da Unesp sobre Geometria espacial (volumes e sólidos), de 2016 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 5 médias, 2 difíceis.

Treine Geometria espacial (volumes e sólidos) com 7 questões da Unesp

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5 questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) resolvidas

Questão 1 · Unesp 2026 · Questão 88média

Um cilindro circular reto de altura h e raio da base igual a 1 m está apoiado na base quadrada de uma pirâmide reta, de aresta da base medindo 8 m e altura igual a 10 m, como mostra a figura.

Na posição descrita, o maior valor possível de h, em metros, para que o cilindro não ultrapasse o interior da pirâmide, é igual a

A
7,5.
B
6,0.
C
6,5.
D
5,5.
E
7,0.

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Gabarito: A

O cilindro está centrado na base da pirâmide. Quanto mais alto ele for, menor é a seção da pirâmide na altura do topo do cilindro. O limite é quando a circunferência do topo (raio 1 m) encosta nas faces da pirâmide.

1. Corte pelo meio de duas faces opostas: aparece um triângulo de base 8 m e altura 10 m. A distância do eixo até a face, na base, é 4 m.

2. Semelhança: na altura h, a distância do eixo até a face diminui proporcionalmente:
distância = 4 × (10 − h)/10

3. Condição: essa distância tem de ser pelo menos o raio do cilindro:
4 × (10 − h)/10 = 1 → 10 − h = 2,5 → h = 7,5 m

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem faz o corte pela diagonal da base mede a distância até a aresta lateral, que é maior, e permite um cilindro mais alto do que cabe.

Dica: em sólidos inscritos, faça o corte que passa pelos pontos de contato e use semelhança de triângulos.

Questão 2 · Unesp 2025 · Questão 88difícil

O retângulo ABCD, com AB = 20 cm e AD = 15 cm, será espacialmente girado de 180º, tendo como eixo de rotação a reta r, que passa por seus vértices B e D, como mostra a figura.

O sólido espacial gerado após essa rotação tem volume igual a

A
2 400π cm³.
B
1 200π cm³.
C
3 000π cm³.
D
3 200π cm³.
E
4 500π cm³.

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Gabarito: B

A diagonal BD divide o retângulo em dois triângulos congruentes (ABD e CBD). Girando 180° em torno de BD, o triângulo ABD varre o meio-espaço de um lado do plano do retângulo e o triângulo CBD varre o outro: os dois pedaços não se sobrepõem.

1. Medidas no triângulo ABD

BD = √(20² + 15²) = 25 cm
Distância de A até BD (altura): h = 20 × 15 ÷ 25 = 12 cm

2. Volume de uma volta completa do triângulo

Girando 360° em torno de BD, o triângulo ABD gera dois cones de mesmo raio 12 cm, cujas alturas somam BD = 25 cm:

V = (1/3)·π·12²·25 = 1 200π cm³

3. Giro de 180°

Cada triângulo gera metade desse sólido: 600π cm³. Os dois triângulos juntos:

600π + 600π = 1 200π cm³

Resposta: B

Por que as outras atraem: 2 400π (A) soma duas voltas completas, contando duas vezes cada triângulo; 4 500π (E) é o cilindro obtido girando o retângulo 360° em torno do lado AB.

Dica: sólido de revolução de um triângulo em torno de um lado = dois cones com a mesma base (raio = altura relativa a esse lado).

Questão 3 · Unesp 2020 · Questão 50média

Com o intuito de formar uma rede de observação e coleta de dados sobre as chuvas, um professor de geografia instalou, nas escolas em que trabalha, instrumentos meteorológicos para recolher e medir a quantidade de água precipitada. Após uma chuva, um aluno verificou que o instrumento registrou 40 mL de água em um tubo, no formato de um cilindro reto com 20 cm de diâmetro, conforme a figura.

fora de escala

A partir dessas informações, o aluno deve comunicar ao professor que o valor aproximado indicado no

A
pluviômetro foi 1,3 mm de chuva.
B
higrômetro foi 1,3 mm de chuva.
C
barômetro foi 2 mm de chuva.
D
pluviômetro foi 2 mm de chuva.
E
higrômetro foi 2 mm de chuva.

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Gabarito: A

O instrumento que mede a quantidade de chuva é o pluviômetro (o higrômetro mede umidade do ar e o barômetro, pressão). A chuva é expressa pela altura da lâmina de água que se acumularia numa superfície plana.

1. Área da boca do cilindro
raio = 20 ÷ 2 = 10 cm
A = π · 10² ≈ 3,14 · 100 = 314 cm²

2. Altura da água
40 mL = 40 cm³
h = V ÷ A = 40 ÷ 314 ≈ 0,127 cm ≈ 1,3 mm

Resposta: A (pluviômetro, 1,3 mm).

Por que as outras atraem: quem usa o diâmetro como se fosse o raio, ou esquece de converter cm em mm, chega a outros valores; B e E têm o instrumento errado.

Dica: 1 mm de chuva = 1 litro de água por metro quadrado; altura = volume ÷ área da boca.

Questão 4 · Unesp 2019 · Questão 86média

Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:

Considerando a Terra uma esfera de raio 6 300 km, a medida do menor arco PQ sobre a linha do paralelo 30º N é igual a

A
1 150π√3 km
B
1 250π√3 km
C
1 050π√3 km
D
1 320π√3 km
E
1 350π√3 km

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Gabarito: C

P e Q estão no mesmo paralelo (30º N), então o arco PQ é um arco de circunferência do paralelo, e não do círculo máximo.

1. Raio do paralelo de 30º
r = R · cos 30º = 6 300 · √3/2 = 3 150√3 km

2. Ângulo entre P e Q
P está a 45º L e Q a 15º O, em lados opostos do meridiano de Greenwich: 45º + 15º = 60º = π/3 rad.

3. Comprimento do arco
arco = r · θ = 3 150√3 · π/3 = 1 050π√3 km

Resposta: C (1 050π√3 km).

Por que as outras atraem: quem subtrai as longitudes (45º − 15º = 30º) chega a 525π√3, que não está nas opções; quem usa o raio da Terra no lugar do raio do paralelo chega a 2 100π, sem √3.

Dica: num paralelo de latitude φ, o raio é R · cos φ; só no equador ele é igual ao raio da Terra.

Questão 5 · Unesp 2016 · Questão 89média

Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

4 cm

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de

A
42%.
B
36%.
C
32%.
D
26%.
E
28%.

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Gabarito: D

1. Área do paralelepípedo inteiro

Arestas 4 cm, 3 cm e 1 cm:

A = 2 × (4×3 + 4×1 + 3×1) = 2 × 19 = 38 cm²

2. O que o corte acrescenta

O plano passa pelas diagonais das faces de 4 cm × 3 cm (a de cima e a de baixo). Cada diagonal mede √(4² + 3²) = 5 cm. A seção é um retângulo de 5 cm × 1 cm = 5 cm².

Depois do corte, cada prisma ganha uma face nova igual a essa seção: são 2 × 5 = 10 cm² a mais para pintar. As outras faces só foram repartidas entre os dois prismas, sem mudar de área.

3. Aumento percentual

10 ÷ 38 ≈ 0,263 → ≈ 26%

Resposta: D

Por que as outras atraem: quem conta só uma face nova encontra 5/38 ≈ 13%, que não está nas opções; quem usa a diagonal de outra face (por exemplo √(4² + 1²)) chega a valores errados.

Dica: cortar um sólido em dois sempre acrescenta duas vezes a área da seção.