Unesp · Matemática

Questões de Geometria analítica da Unesp

5 questões oficiais da Unesp sobre Geometria analítica, de 2018 a 2025, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 1 fácil, 3 médias, 1 difícil.

Treine Geometria analítica com 5 questões da Unesp

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4 questões de Geometria analítica resolvidas

Questão 1 · Unesp 2024 · Questão 86fácil

Uma placa quadrada de massa 2 kg e lado 2 e uma placa retangular de massa 3 kg e lados 2 por 4 possuem suas respectivas massas homogeneamente distribuídas, espessuras desprezíveis e estão dispostas, uma a uma, em um plano cartesiano de eixos ortogonais. Nesse plano cartesiano, as coordenadas do centro de massa C do conjunto das duas placas são calculadas da seguinte forma:

Acrescentando-se nesse plano uma placa circular também de espessura desprezível, com centro (2, 1), raio 1 e massa 3 kg, o centro de massa do novo conjunto, agora com as três placas, passará a ter coordenadas

A
(4,75; 3).
B
(3,5; 2,25).
C
(6; 3,5).
D
(5; 3).
E
(6; 4).

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Gabarito: D

O centro de massa é a média das coordenadas dos centros, ponderada pelas massas. Junte a placa circular (3 kg, centro (2, 1)) às duas placas:

x_C = (2 · 2 + 3 · 10 + 3 · 2) ÷ (2 + 3 + 3) = 40 ÷ 8 = 5

y_C = (2 · 3 + 3 · 5 + 3 · 1) ÷ (2 + 3 + 3) = 24 ÷ 8 = 3

Resposta: D (5; 3).

Por que as outras atraem: quem esquece de somar a nova massa no denominador e divide por 5 obtém (8; 4,8), que não aparece. Atenção à ordem: o centro da placa circular é (2, 1), não (1, 2).

Dica: com o centro de massa antigo, também dá: x = (5 · 6,8 + 3 · 2) ÷ 8 = 5.

Questão 2 · Unesp 2021 · Questão 86média

A análise gráfica é um dos principais modos de ler o mercado para negociar ativos financeiros. Um dos modelos para análise da tendência do valor do ativo prevê que as cotações fiquem compreendidas no interior de um triângulo. Nesse cenário, supõe-se que as cotações do ativo ficarão delimitadas por duas linhas (lados do triângulo) que convergirão para o ápice do valor (vértice do triângulo).

A seguir, tem-se um exemplo desse caso, com valores simplificados presentes em uma simulação da venda de ativos em dólares (USD).

(https://br.tradingview.com. Adaptado.)

Na simulação apresentada, iniciada em 19 de março, o ápice está previsto para quantos dias após seu início e para qual valor em USD?

A
90 dias, com o valor de 8 700 USD.
B
54 dias, com o valor de 8 700 USD.
C
54 dias, com o valor de 8 400 USD.
D
72 dias, com o valor de 8 400 USD.
E
72 dias, com o valor de 8 700 USD.

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Gabarito: D

As datas marcadas estão igualmente espaçadas: de 19 de março a 6 de abril são 18 dias, e de 6 a 24 de abril, mais 18 dias.

1. Taxa de cada reta (por período de 18 dias):
- Máximas (verde): 7 200 → 7 500 → 7 800: sobe 300 USD.
- Mínimas (vermelha): 5 200 → 6 000 → 6 800: sobe 800 USD.

2. Quando as retas se encontram. No início, a distância entre elas é 7 200 – 5 200 = 2 000 USD. A cada 18 dias essa diferença diminui 800 – 300 = 500 USD. Para zerar: 2 000 ÷ 500 = 4 períodos = 4 × 18 = 72 dias.

3. Valor no ápice: 7 200 + 4 × 300 = 8 400 USD (confere: 5 200 + 4 × 800 = 8 400).

Resposta: D (72 dias, 8 400 USD).

Por que as outras atraem: 8 700 USD é o valor que o gráfico parece sugerir "a olho"; 54 dias corresponde a 3 períodos, quando as retas ainda estão 500 USD separadas.

Dica: duas retas que se encontram: a distância inicial dividida pela diferença das inclinações dá o tempo do encontro.

Questão 3 · Unesp 2018 · Questão 84média

A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.

A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a

A
160.
B
175.
C
180.
D
170.
E
155.

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Gabarito: C

Pela figura: A(0, 3), B(0, 15), C(20, 9) e D(10, 0).

Lados paralelos: AD tem inclinação (0 – 3) ÷ 10 = –0,3 e BC tem (9 – 15) ÷ 20 = –0,3. Logo AD ∥ BC.

Área pela fórmula do determinante (shoelace), percorrendo A → B → C → D:
- x_Ay_B – x_By_A = 0 × 15 – 0 × 3 = 0
- x_By_C – x_Cy_B = 0 × 9 – 20 × 15 = –300
- x_Cy_D – x_Dy_C = 20 × 0 – 10 × 9 = –90
- x_Dy_A – x_Ay_D = 10 × 3 – 0 × 0 = 30

Soma = –360 → área = |–360| ÷ 2 = 180

Conferindo por decomposição: retângulo 0 ≤ x ≤ 20, 0 ≤ y ≤ 15 (área 300) menos os triângulos de fora: AOD (3 × 10 ÷ 2 = 15), D-(20,0)-C (10 × 9 ÷ 2 = 45) e B-(20,15)-C (20 × 6 ÷ 2 = 60). 300 – 120 = 180.

Resposta: C

Dica: para polígonos com vértices conhecidos, o determinante (shoelace) dá a área direto.

Questão 4 · Unesp 2018 · Questão 88média

Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecção da circunferência com o eixo y.

Considere o ponto R, do gráfico de y = √x, que possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a

A
9.
B
16.
C
15.
D
12.
E
18.

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Gabarito: E

Raio da circunferência: ela tem centro na origem e passa por Q(3, 3):
r² = 3² + 3² = 18 → r = 3√2

Ponto P: é onde a circunferência corta o eixo y (na parte positiva, pela figura): P(0, 3√2).

Ponto R: está no gráfico de y = √x e tem a mesma ordenada de P:
√x = 3√2 → x = (3√2)² = 9 × 2 = 18

Resposta: E

Por que as outras atraem: A (9) aparece para quem eleva só o 3 ao quadrado; quem usa r = 3 encontra 9 também.

Dica: para achar x em √x = k, basta elevar k ao quadrado.