Unesp · Matemática

Questões de Funções exponencial e logarítmica da Unesp

5 questões oficiais da Unesp sobre Funções exponencial e logarítmica, de 2019 a 2025, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 2 médias, 1 difícil.

Treine Funções exponencial e logarítmica com 5 questões da Unesp

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Treinar Funções exponencial e logarítmica

5 questões de Funções exponencial e logarítmica resolvidas

Questão 1 · Unesp 2025 · Questão 89fácil

A figura indica o gráfico da função f(x) = log₂(x – 1), sendo P e Q os pontos de intersecção da assíntota e do gráfico com o eixo x, respectivamente.

Sabendo-se que M(x_M, y_M) pertence ao gráfico de y = f(x) e que x_M é ponto médio de PQ, então y_M é igual a

A
– 0,8.
B
–1,1.
C
–1.
D
– 0,9.
E
–1,2.

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Gabarito: C

1. Pontos P e Q

O logaritmo só existe para x − 1 > 0: a assíntota vertical é x = 1, então P = (1, 0).

O gráfico corta o eixo x quando log₂(x − 1) = 0 → x − 1 = 1 → Q = (2, 0).

2. Ponto médio

x_M = (1 + 2) ÷ 2 = 1,5

3. Ordenada de M

y_M = log₂(1,5 − 1) = log₂(1/2) = −1

Resposta: C

Dica: log_b(x − k) tem assíntota em x = k e corta o eixo x em x = k + 1.

Questão 2 · Unesp 2024 · Questão 88média

Três insetos da mesma espécie foram introduzidos em um ambiente no instante zero. Sete meses depois, constatou-se que havia uma população de 18 000 desses insetos no ambiente. Considere que o modelo de crescimento da população desses insetos é exponencial, dado por f(x) = t · u^x, em que t e u são constantes reais e f(x) é a população de insetos após x meses do início da cultura.

Observe o gráfico da função

em que x é um número inteiro maior do que 2, e que apresenta os valores aproximados das ordenadas de alguns de seus pontos.

Com os dados fornecidos, segue que t + u é, aproximadamente,

A
5,09.
B
10,26.
C
6,47.
D
7,62.
E
7,26.

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Gabarito: C

1. Valor de t
No instante zero havia 3 insetos: f(0) = t · u⁰ = t → t = 3

2. Valor de u
Sete meses depois, 18 000 insetos:
3 · u⁷ = 18 000 → u⁷ = 6 000 → u = 6000^1/7

No gráfico de g(x) = 6000^1/x, o ponto de x = 7 é (7; 3,47). Logo, u ≈ 3,47.

3. Soma
t + u ≈ 3 + 3,47 = 6,47

Resposta: C

Por que as outras atraem: (E) 7,26 aparece ao ler o ponto de x = 6 (4,26) em vez do ponto de x = 7, que corresponde aos sete meses.

Dica: f(0) dá o coeficiente da exponencial; depois, isole a base.

Questão 3 · Unesp 2022 · Questão 89difícil

Um vídeo postado na internet no 1º dia do ano obteve, nesse dia (t = 1), 800 likes e 100 dislikes.

Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente 1/40, o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de

A
log_0,95 0,12.
B
log_0,95 0,19.
C
log_0,05 0,19.
D
log_1,05 1,9.
E
log_0,05 0,12.

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Gabarito: B

1. Modelos (t = 1 é o primeiro dia):
- likes: 800 × 1,1^t−1;
- dislikes: 100 × 1,045^t−1.

2. Razão dislikes/likes = 1/40:
(100/800) × (1,045/1,1)^t−1 = 1/40
(1/8) × 0,95^t−1 = 1/40
0,95^t−1 = 8/40 = 0,2.

3. Isolando t: t − 1 = log_0,95 0,2. Como 1 = log_0,95 0,95:
t = log_0,95 0,95 + log_0,95 0,2 = log_0,95 (0,95 × 0,2) = log_0,95 0,19.

Resposta: B.

Por que as outras atraem: esquecer o "t − 1" (contar o crescimento a partir de t = 0) dá log_0,95 0,2; errar a razão 1,045/1,1 = 0,95 e usar 0,05 leva a C e E.

Dica: para somar 1 a um logaritmo, escreva 1 como log da própria base e use log a + log b = log (a·b).

Questão 4 · Unesp 2021 · Questão 81média

Desenvolvida em 1935 por Charles F. Richter, com a colaboração de Beno Gutenberg, a escala Richter permite determinar a magnitude (M) de um terremoto, fenômeno que libera uma grande quantidade de energia (E) que se propaga pela Terra em todas as direções. A magnitude e a energia de um terremoto podem ser relacionadas pela expressão a seguir, em que E é expressa em erg, uma unidade de medida de energia do sistema CGS.

log E = 11,8 + 1,5M

A tabela apresenta os efeitos gerados por um terremoto, de acordo com sua magnitude na escala Richter:

(http://ecalculo.if.usp.br. Adaptado.)

No dia 6 de janeiro de 2020, o sul de Porto Rico foi atingido por um terremoto que liberou uma quantidade de energia E = 10^13,8 J. Considerando a tabela e que 1 erg = 10^–7 J, esse terremoto

A
foi destrutivo em áreas até 100 km do epicentro.
B
danificou casas mal construídas em regiões próximas ao epicentro.
C
não foi sentido e não causou danos.
D
causou sérios danos em uma grande faixa, sendo considerado um grande terremoto.
E
causou graves danos em áreas a centenas de quilômetros do epicentro, sendo considerado um enorme terremoto.

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Gabarito: B

1. Converter a energia para erg. Como 1 erg = 10^–7 J, temos 1 J = 10⁷ erg:

E = 10^13,8 J = 10^13,8 × 10⁷ erg = 10^20,8 erg

2. Aplicar a fórmula. log E = 20,8:

20,8 = 11,8 + 1,5M → 1,5M = 9 → M = 6,0

3. Consultar a tabela. Magnitude entre 5,5 e 6,0: "pode danificar seriamente casas mal construídas em regiões próximas ao epicentro".

Resposta: B.

Por que as outras atraem: quem usa 10^13,8 direto na fórmula, sem converter para erg, chega a M ≈ 1,3 e marca C; quem divide em vez de multiplicar (10^13,8 × 10^–7) também erra a magnitude.

Dica: antes de jogar um número numa fórmula, confira a unidade que ela pede. Aqui, multiplicar potências de 10 é somar expoentes.

Questão 5 · Unesp 2019 · Questão 90fácil

Um banco estabelece os preços dos seguros de vida de seus clientes com base no índice de risco do evento assegurado. A tabela mostra o cálculo do índice de risco de cinco eventos diferentes.

Sabe-se que, nesse banco, o índice de risco de morte pela prática do evento BASE jumping é igual a 8.

Praticante de BASE jumping

(https://pt.wikipedia.org)

O risco de morte para praticantes desse esporte, segundo a avaliação do banco, é de

A
2,5%.
B
2%.
C
1%.
D
1,5%.
E
0,5%.

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Gabarito: C

Pela tabela, o índice de risco é 10 – log n, em que o risco de morte é de 1 em n.

1. Achar n
10 – log n = 8 → log n = 2 → n = 10² = 100

2. Converter em porcentagem
1 morte em 100 praticantes = 1/100 = 1%

Resposta: C (1%).

Dica: log n = k significa n = 10^k; confira com a tabela (cigarro: log 800 ≈ 2,9, índice 7,1).