Seletiva OBA · Física e matemática da astronomia

Questões de Mecânica e energia da Seletiva OBA

10 questões oficiais da Seletiva OBA sobre Mecânica e energia, de 2017 a 2027, com gabarito e solução oficial. Dificuldade estimada: 6 fáceis, 4 médias.

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6 questões de Mecânica e energia resolvidas

Questão 1 · Seletiva OBA 2027 · Questão P1-5fácil

Perseverance é um dos últimos rovers planetários enviados para Marte pela NASA com o objetivo de investigar a possibilidade do planeta ter sido habitável no passado.

O rover é do tamanho de um carro, com cerca de 3 metros de comprimento (sem incluir o braço), 2,7 metros de largura, 2,2 metros de altura e 1050 kg. Ele foi lançado em 30 de julho de 2020, pousando no planeta vermelho apenas em 18 de fevereiro de 2021.

Baseado nessas informações, o que aconteceria com a medição da massa de Perseverance em Marte usando uma balança calibrada para a Terra, sabendo que Marte possui metade do raio da Terra e 10% de sua massa?

A
A balança mediria uma massa menor e igual a 105 kg
B
A balança mediria uma massa menor e igual a 210 kg
C
A balança mediria uma massa menor e igual a 420 kg
D
A balança mediria uma massa maior e igual a 2625 kg
E
A balança mediria uma massa maior e igual a 5250 kg

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Gabarito: C

A balança marca o módulo da força normal que ela exerce sobre o objeto. No equilíbrio, a normal é igual ao peso do rover. Como a balança foi calibrada para a Terra, ela converte a força em "massa" dividindo por g_⊕:

N_marte = m_medida · g_⊕

m · g_marte = m_medida · g_⊕

m_medida = m · g_marte/g_⊕

A gravidade na superfície de um planeta esférico é g = GM/R². Substituindo:

m_medida = m · (M_marte/M_⊕) · (R_⊕/R_marte)²

m_medida = 1050 · 0,1 · 2² = 420 kg

A balança mediria uma massa menor, de 420 kg.

Resposta: C

Questão 2 · Seletiva OBA 2025 · Questão P3-3média

Na astrofísica, o Comprimento de Jeans λ_J é uma medida do raio de uma nuvem de gás em que a pressão interna suporta exatamente a nuvem contra o colapso devido à gravidade.

Tem esse nome em homenagem ao astrônomo britânico Sir James Jeans (1877-1946), que estudou a estabilidade de nuvens esféricas no início do século XX.

O Comprimento de Jeans depende da velocidade do som no gás v_s, da Constante Gravitacional G e da densidade da nuvem ρ.

A dependência entre os elementos pode ser expressa através da fórmula:

λ_J ∝ v_s^α G^β ρ^γ (lê-se, “λ_J é proporcional a...”)

Assinale a opção que traz os valores dos expoentes α, β e γ para que λ_J tenha a unidade (ou dimensão) correta.

Dados: G = 6,67 × 10⁻¹¹ kg⁻¹m³s⁻²

A
α = 1/2; β = −1/2 e γ = −1
B
α = 1/2; β = −1 e γ = −1/2
C
α = 1; β = −1/2 e γ = −1/2
D
α = −1; β = 1/2 e γ = 1/2
E
α = 1; β = 1 e γ = 1

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Gabarito: C

Na análise dimensional usamos comprimento (L), tempo (T) e massa (M):

[λ_J] = L¹

[v_s] = L¹T⁻¹

[G] = L³T⁻²M⁻¹

[ρ] = L⁻³M¹

Equacionando as dimensões:

L¹T⁰M⁰ = (L¹T⁻¹)^α (L³T⁻²M⁻¹)^β (L⁻³M¹)^γ = L^α+3β−3γ T^−α−2β M^−β+γ

Temos três equações:

α + 3β − 3γ = 1

−α − 2β = 0

−β + γ = 0

Da segunda, α = −2β; da terceira, γ = β. Substituindo na primeira: −2β + 3β − 3β = 1, logo −2β = 1 e β = −1/2 = γ. Então α = −2 × (−1/2) = 1.

α = 1, β = −1/2, γ = −1/2, ou seja, λ_J ∝ v_s/√(Gρ).

Resposta: C

Questão 3 · Seletiva OBA 2024 · Questão P3-2média

Escondida sob as águas do Golfo do México, a Cratera Chicxulub marca o local do impacto de um asteroide que atingiu a Terra há 66 milhões de anos. O resultado mais importante desse evento cataclísmico foi a quinta extinção em massa, pelo qual nosso planeta passou e que exterminou cerca de 80% de todas as espécies animais, incluindo quase todos os dinossauros.

Estudos recentes da Nature Communications indicam que o asteroide responsável pela cratera possuía 12 km de diâmetro.

Assinale a alternativa que traz o número aproximado da energia liberada no impacto, medida em número de equivalentes de Bombas de Hiroshima (a bomba atômica lançada sobre Hiroshima, no Japão, em 6 de agosto de 1945, ao término da Segunda Guerra Mundial).

Para facilitar a estimativa, considere o asteroide esférico, com densidade média ρ = 7,8 × 10³ kg/m³. Despreze as forças de atrito com a atmosfera e assuma que toda a sua energia cinética, na hora do impacto, foi liberada na explosão. Nestes casos, a velocidade do impacto pode ser considerada como a velocidade de escape da Terra, ou seja, cerca de 11 km/s.

Dado: Bomba de Hiroshima → 15 kt (quilotons) de TNT ≈ 63,0 × 10¹² J

A
6,2 × 10⁵
B
1,1 × 10⁷
C
1,2 × 10⁹
D
6,8 × 10⁹
E
5,4 × 10¹⁰

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Gabarito: D

Massa do asteroide (raio de 6 km = 6.000 m):

M = ρV = ρ × (4/3)πr³ = 7,8 × 10³ kg/m³ × (4/3)π(6.000 m)³ ≈ 7,1 × 10¹⁵ kg

Energia cinética no impacto:

E_c = ½Mv² = ½ × 7,1 × 10¹⁵ kg × (11.000 m/s)² ≈ 4,3 × 10²³ J

Equivalente em Bombas de Hiroshima:

E_c/E_bomba = 4,3 × 10²³ J / 63 × 10¹² J ≈ 6,8 × 10⁹

O impacto liberou energia equivalente a quase 7 bilhões de Bombas de Hiroshima.

Resposta: D

Questão 4 · Seletiva OBA 2022 · Questão P2-7média

Suponha que uma estação espacial, como a ilustrada abaixo (semelhante à estação do filme “2001: Uma Odisseia no Espaço”), mas localizada no espaço a muitos anos-luz de distância das estrelas mais próximas e gira sobre si mesma a uma velocidade angular constante para criar, em sua parte mais externa, uma gravidade artificial igual a um terço da aceleração gravitacional na superfície da Terra.

Sabendo que o raio da estação é R = 298,0 m, marque a opção que traz (a) o número de voltas sobre si mesma que a estação faz a cada hora e (b) o valor da aceleração da gravidade artificial na sala de máquinas, localizada no centro da estação.

Considere a aceleração da gravidade na superfície da Terra g = 9,81 m/s².

A
30 voltas; g_e = 3,27 m/s²
B
40 voltas; g_e = 9,81 m/s²
C
60 voltas; g_e = 0,00 m/s²
D
60 voltas; g_e = 3,27 m/s²
E
120 voltas; g_e = 0,00 m/s²

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Gabarito: C

(a) A aceleração da gravidade na parte mais externa da estação vale:

g_e = g_T/3 = (9,81 m/s²)/3 = 3,27 m/s².

Essa gravidade artificial é gerada pela força normal que atua sobre os pés dos astronautas, voltada para o centro da estação: ela faz o papel de força centrípeta. A aceleração centrípeta se relaciona com a velocidade angular ω, a velocidade tangencial v_T e o raio R por:

g_e = a_c = ω²R = v_T²/R.

Isolando v_T:

v_T = √(g_eR) = √(3,27 m/s² × 298,0 m) ≅ 31,22 m/s.

O período de rotação da estação é:

P = 2πR/v_T = (2π × 298 m)/(31,22 m/s) ≅ 60 s = 1 min.

Se a estação dá 1 volta a cada minuto, em 1 hora (60 min) ela dá 60 voltas.

(b) Como a estação está muito longe de qualquer estrela, podemos ignorar os efeitos gravitacionais delas. Pela relação a_c = ω²R, com ω constante, a aceleração centrípeta é diretamente proporcional à distância ao centro. No centro da estação R = 0, logo g_e,centro = 0.

Resposta: C

Questão 5 · Seletiva OBA 2020 · Questão P3-8fácil

Na figura a seguir, fora de escala, está representada a posição de três satélites (I, II e III), que se movem em órbitas circulares ao redor da Terra. O satélite I tem massa m e os satélites II e III têm, cada um, massa 2m. Os satélites I e II estão na mesma órbita de raio r e o raio da órbita do satélite III vale r/2.

Avalie as afirmações a seguir e marque a resposta certa:

I – Por ter o dobro da massa, a velocidade orbital do satélite II é o dobro da do satélite I;

II – Por ter a metade do raio orbital, a velocidade orbital do satélite III é o dobro da do satélite II;

III – Por estarem na mesma órbita, o período orbital do satélite I é o mesmo do satélite II;

IV – Se F₁, F₂ e F₃ forem os módulos da força gravitacional da Terra sobre os respectivos satélites, então F₁ < F₂ < F₃.

A
Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras
B
Todas as afirmações são verdadeiras
C
Apenas a afirmação I não é verdadeira
D
Apenas a afirmação II não é verdadeira

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Gabarito: A

Numa órbita circular, v = √(GM/r), em que M é a massa da Terra.

A afirmação I não é verdadeira: a velocidade orbital dos satélites não depende da sua massa, só do raio orbital.

A afirmação II não é verdadeira: com metade do raio orbital, a velocidade do satélite III é √2 vezes a do satélite II.

A afirmação III é verdadeira: quando a massa do satélite é desprezível, o período orbital depende somente da distância até o corpo central.

A afirmação IV é verdadeira: F = GMm/r². Os satélites II e III têm a mesma massa, mas III está mais perto da Terra, então F₃ > F₂. Os satélites I e II estão na mesma órbita, mas II tem mais massa, então F₂ > F₁. Portanto F₁ < F₂ < F₃ (na proporção 1 : 2 : 8).

Resposta: A

Questão 6 · Seletiva OBA 2018 · Questão P2-3fácil

Um astronauta totalmente equipado pode pular 40 cm verticalmente acima da superfície da Terra fazendo um esforço máximo. Quão alto (em cm) o astronauta poderia pular, com o mesmo equipamento, fazendo o mesmo esforço, em um planeta com 1/3 do diâmetro da Terra e 3/4 de sua densidade?

A
80 cm
B
160 cm
C
40 cm, pois o impulso do astronauta seria o mesmo
D
dados insuficientes para o cálculo

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Gabarito: B

Com o mesmo esforço, o astronauta sai do chão com a mesma velocidade. A energia potencial no ponto mais alto do salto no planeta é igual à energia potencial adquirida no salto na Terra:

m g_p h_p = m g_T h_T, então h_p = (g_T/g_p) h_T

Como g = GM/r² e M = ρV:

g_T/g_p = (ρ_T/ρ_p) × (V_T/V_p) × (r_p/r_T)²

Substituindo os valores:

g_T/g_p = (4/3) × (1/(1/3))³ × (1/3)² = (4/3) × 27 × (1/9) = 4

Então h_p = 4 × 40 cm = 160 cm.

Resposta: B