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Seletiva OBA · Física e matemática da astronomia

Questões de Geometria, trigonometria e estimativas da Seletiva OBA

15 questões oficiais da Seletiva OBA sobre Geometria, trigonometria e estimativas, de 2018 a 2027, com gabarito e solução oficial. Dificuldade estimada: 7 fáceis, 6 médias, 2 difíceis.

Treine Geometria, trigonometria e estimativas com 15 questões da Seletiva OBA

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6 questões de Geometria, trigonometria e estimativas resolvidas

Questão 1 · Seletiva OBA 2027 · Questão P1-3média

Observações da posição da Estrela de Barnard em relação às estrelas de fundo, realizadas em julho de 2014 e julho de 2022, mostraram que ela se deslocou uma distância angular de aproximadamente 82,4″ no céu.

A Grande Nuvem de Magalhães possui aproximadamente 30 000 anos-luz de extensão e está localizada a cerca de 163 000 anos-luz da Terra.

Quanto tempo a Estrela de Barnard levaria para percorrer no céu uma distância angular equivalente à extensão aparente da Grande Nuvem de Magalhães?

Considere: 1 rad = 206 265″

  1. A

    670 anos

  2. B

    1 030 anos

  3. C

    1 850 anos

  4. D

    3 700 anos

  5. E

    7 400 anos

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Gabarito: D

Primeiro, o movimento próprio da Estrela de Barnard. O intervalo entre as observações é:

Δt = 2022 − 2014 = 8 anos

μ = 82,4″ / 8 anos ≈ 10,3″/ano

Em seguida, o tamanho angular aproximado da Grande Nuvem de Magalhães:

θ ≈ 30 000 / 163 000 ≈ 0,184 rad

Convertendo para segundos de arco:

θ ≈ 0,184 × 206 265″ ≈ 37 950″

Por fim, o tempo necessário:

t = 37 950″ / (10,3″/ano) ≈ 3 684 anos

Portanto, a Estrela de Barnard levaria aproximadamente 3 700 anos.

Resposta: D

Questão 2 · Seletiva OBA 2026 · Questão P1-5fácil

Em uma aula de Astronomia, uma aluna pergunta à sua professora qual a sua idade. A professora, então, responde: “Desde que nasci, já percorri 37,2 bilhões de quilômetros em torno do Sol”.

Assinale a alternativa que traz a idade, em anos, aproximada da professora.

Dados: para facilitar as contas, considere: π = 3,1; distância Terra-Sol = 1 UA = 1,5 × 108 km (considere, também, a órbita da Terra como circular).

  1. A

    31

  2. B

    37

  3. C

    40

  4. D

    50

  5. E

    55

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Gabarito: C

O perímetro da órbita da Terra vale:

p = 2πd = 2 × 3,1 × 1,5 × 108 km = 9,3 × 108 km

Se em 1 ano a Terra percorre 9,3 × 108 km, em X anos terá percorrido 37,2 × 109 km:

1 ano / (9,3 × 108 km) = X / (37,2 × 109 km)

X = 1 ano × 37,2 × 109 km / (9,3 × 108 km) = 40 anos

Resposta: C

Questão 3 · Seletiva OBA 2025 · Questão P3-7média

Quando a NASA enviou humanos à Lua em 1969, um dos muitos perigos que a agência teve que prever foi a penetração de rochas espaciais nos trajes ou equipamentos dos astronautas. Ao contrário da Terra, que tem uma atmosfera protetora na qual meteoroides geralmente se desintegram, a Lua é vulnerável a quaisquer rochas, ou mesmo partículas, que estejam voando pelo espaço.

Felizmente, os astronautas não estavam em muito perigo. De acordo com os especialistas da NASA, as chances de um astronauta ser atingido por um objeto do tamanho de um milímetro é de 1 em 1 milhão por hora por pessoa. Um milímetro é quanto um meteoroide precisa ter de tamanho para penetrar no traje espacial de um astronauta.

A NASA e outras agências estão se preparando para enviar humanos de volta à Lua nos próximos anos e, algum dia, estabelecer uma base orbitando a Lua ou em sua superfície. Então é muito importante entender a frequência com que uma determinada área do nosso satélite natural sofre um impacto.

Considere que, atualmente, cerca de 100 meteoroides do tamanho de bolas de pingue-pongue estão atingindo a Lua por dia. Apesar do seu pequeno tamanho, cada uma dessas rochas impacta a superfície com velocidades de algumas dezenas de km/s, podendo causar grandes estragos. Considere, também, que esses 100 meteoroides diários caem por toda a superfície da Lua, com igual probabilidade, sem uma região preferencial de queda.

Sendo assim, assinale a opção que traz de quanto em quanto anos, aproximadamente, um meteoroide desses atingirá uma base lunar de 1 km2 de área.

Dados: Diâmetro equatorial da Lua ∅ = 3.474,8 km

  1. A

    1 a cada 100 anos

  2. B

    1 a cada 1.000 anos

  3. C

    1 a cada 10.000 anos

  4. D

    1 a cada 100.000 anos

  5. E

    1 a cada 1.000.000 anos

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Gabarito: B

Meteoroides que caem na Lua em 1 ano:

n = 100/dia × 365 dias/ano = 36.500 por ano

Como todos têm a mesma probabilidade de cair em qualquer ponto, precisamos da área total da superfície lunar:

A = 4π rLua2 = 4π (3.474,8 km / 2)2 ≅ 3,8 × 107 km2

Se 36.500 meteoroides por ano se espalham por 3,8 × 107 km2, o tempo x para 1 meteoroide cair em 1 km2 é:

x = 3,8 × 107 / 36.500 anos ≅ 1,0 × 103 anos = 1.000 anos

Resposta: B

Questão 4 · Seletiva OBA 2024 · Questão P2-7fácil

Considere que a massa total do material nos anéis de Saturno é de cerca de 1,5 × 1019 kg. Vamos supor, em primeira aproximação, que uma partícula média do anel tenha raio r = 6 cm (o tamanho de uma grande bola de neve) e tenha uma densidade ρ = 1.000 kg/m3.

Imagem da questão

Sendo assim, assinale a opção que traz a ordem de grandeza do número aproximado de partículas que existem nos anéis.

  1. A

    1016

  2. B

    1017

  3. C

    1018

  4. D

    1019

  5. E

    1020

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Gabarito: D

Massa de cada partícula média:

ρ = m/V ⟹ m = ρV = (4/3)πr3ρ

m = (4/3) × π × (0,06 m)3 × 1.000 kg/m3 ≈ 0,905 kg

Número de partículas:

n = massa total / massa de cada partícula = 1,5 × 1019 kg / 0,905 kg ≈ 1,657 × 1019

Como 1,657 é menor que 10 (e menor que √10 ≈ 3,16), a ordem de grandeza é 1019 partículas.

Resposta: D

Questão 5 · Seletiva OBA 2023 · Questão P1-3fácil

Em uma aula de Astronomia, um aluno pergunta ao seu professor qual a sua idade. O professor, então, responde: “Desde que nasci, já percorri 46,5 bilhões de quilômetros em torno do Sol”.

Assinale a alternativa que traz a idade, em anos, aproximada do professor.

Dados: π ≈ 3,1; distância Terra-Sol = 1 UA ≈ 1,5 × 108 km (considere a órbita como circular).

  1. A

    31

  2. B

    46,5

  3. C

    50

  4. D

    56,5

  5. E

    62

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Gabarito: C

O perímetro da órbita da Terra vale:

p = 2π·d = 2 × 3,1 × 1,5 × 108 km = 9,3 × 108 km

Em 1 ano a Terra percorre 9,3 × 108 km. Para percorrer 46,5 × 109 km são necessários:

X = 46,5 × 109 km / 9,3 × 108 km por ano = 50 anos

Resposta: C

Questão 6 · Seletiva OBA 2019 · Questão P3-16difícil

A imagem abaixo foi obtida pela Sonda espacial Cassini quando a mesma passou pelo sistema de Júpiter em 2000. Ela foi capaz de observar Io transitando na frente de Júpiter. Nela podemos ainda observar a sombra de Io em Júpiter e a Grande Mancha Vermelha de Júpiter.

(Crédito: Projeto Cassini, NASA)

Imagem da questão

Considere os seguintes dados:

  • Raio de Júpiter rJ = 69911 km
  • Distância Io-Júpiter dIJ = 5,91 rJ
  • Distância Terra-Júpiter dTJ = 4,2471 U.A.
  • 1 U.A. = 1,496×10⁸ km

Considere, também, que Io tem uma órbita circular em torno de Júpiter e que o tamanho físico de sua sombra seja igual ao seu próprio diâmetro, ou seja, 2rI = 1821,6 km.

Qual a diferença no tamanho angular de Io em relação ao tamanho angular de sua sombra em Júpiter, em segundos de arco?

  1. A

    Maior que 0,100 segundos de arco

  2. B

    Entre 0,100 e 0,010 segundos de arco

  3. C

    Entre 0,010 e 0,001 segundos de arco

  4. D

    Menor que 0,001 segundos de arco

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Gabarito: D

A distância de Io até nós pode ser considerada como dTI = dTJ − dIJ:

dTI = (4,2471 × 1,496 × 10⁸) − (5,91 × 69911) ≅ 634 952 986 km

O tamanho angular de Io é o seu diâmetro dividido pela distância (em radianos, × 206265 para segundos de arco):

∅I = 1821,6/634 952 986 rad ≅ 2,869 × 10⁻⁶ rad ≅ 0,5917"

Da mesma forma, o tamanho angular da sombra de Io sobre Júpiter, à distância dTJ ≅ 635 366 160 km:

∅s = 1821,6/635 366 160 rad ≅ 2,867 × 10⁻⁶ rad ≅ 0,5914"

Portanto ∅I − ∅s ≅ 0,0004", menor que 0,001 segundo de arco. (O gabarito oficial calcula cada tamanho como 2 × arctg(2rI/d), o que dobra os dois valores — 1,1835" e 1,1827" — e dá diferença de 0,0008"; a conclusão é a mesma.)

Resposta: D