Seletiva OBA 2017 · Provas online: prova com gabarito

O Sol passa pelo nadir de São Paulo (latitude 23,5°S) quando está no zênite do ponto diametralmente oposto da Terra, que fica na latitude 23,5°N, isto é, sobre o Trópico de Câncer.

Isso acontece no dia do solstício de junho, quando a declinação do Sol é +23,5°.

Resposta: C

Equinócio de março: o Sol está cruzando o ponto vernal (α = 0h, por definição) e está sobre o equador celeste (δ = 0°).

Solstício de dezembro: o Sol já deu 3/4 da volta completa na esfera celeste (α = 18h) e atinge seu ponto mais ao sul da esfera celeste (δ = −23,5°).

Resposta: B

Pelo efeito Doppler (velocidades pequenas em relação à da luz):

λ/λ₀ = 1 + V_r/c

Logo:

V_r = (λ/λ₀ − 1) × c = (655,0/656,3 − 1) × 3 × 10⁵ km/s ≅ −594,2 km/s

A velocidade negativa indica que a estrela está se aproximando do Sistema Solar (o comprimento de onda observado é menor que o de laboratório).

Resposta: C

A distância d, em parsecs, é inversamente proporcional ao ângulo de paralaxe π, em segundos de arco:

d = 1/π

As distâncias das estrelas à Terra são, portanto:

d_A = 1/0,36 ≅ 2,78 pc

d_B = 1/0,42 ≅ 2,38 pc

d_C = 1/0,2 = 5 pc

I - Falsa: a estrela de menor paralaxe, e portanto a mais distante, é C.

II - Verdadeira: d_C = 5 pc.

III - Verdadeira: d_B ≅ 2,38 pc < d_C = 5 pc.

Apenas II e III estão corretas.

Resposta: C

Da 3ª lei de Kepler, com P_A = P_B/2:

(P_A/P_B)² = (a_A/a_B)³

(1/2)² = (a_A/a_B)³ → (a_B/a_A)³ = 4 → a_B/a_A = ∛4

Comparando as forças gravitacionais:

F_GA/F_GB = (G·M_E·m_A/a_A²) / (G·M_E·m_B/a_B²) = (m_A/m_B) · (a_B/a_A)²

F_GA/F_GB = 2 · (∛4)² = 2 · ∛16 = 2 · 2∛2 = 4 ∛2

Resposta: A

A energia mecânica do cometa é a soma da energia cinética (positiva) com a potencial gravitacional (negativa):

E_mec = m·v²/2 − G·M·m/r

Como o módulo da energia potencial é menor que o módulo da energia cinética, a energia mecânica é maior que zero:

E_mec > 0

Uma órbita com energia mecânica positiva é hiperbólica (o cometa não fica preso ao Sol).

Resposta: D

A declinação é o arco do meridiano do astro compreendido entre o plano do equador celeste e o astro, tal como mostrado na figura (a linha vermelha x vai do equador celeste até o astro, ao longo do seu círculo horário).

Resposta: C

Por definição, a ascensão reta é medida a partir do ponto vernal (ponto γ), a interseção do equador celeste com a eclíptica onde o Sol se encontra no equinócio de março.

Resposta: D

Por definição da escala de magnitudes, uma diferença de 5 magnitudes corresponde a uma razão de fluxo (brilho) de 100 vezes.

Como a escala de magnitudes é invertida (maior magnitude, menor brilho), a galáxia de magnitude 17 é 100 vezes menos brilhante que a de magnitude 12.

Resposta: D

As três faixas são a mesma, escrita em unidades diferentes:

390 – 700 nm = 3900 – 7000 Å (1 nm = 10 Å) = 0,39 – 0,70 μm (1 μm = 1000 nm).

Portanto a, b e c estão corretas.

Resposta: D

A ampliação é a razão entre a distância focal do espelho (objetiva) e a da ocular:

A = f_espelho/f_ocular = 2000 mm / 40 mm = 50

Resposta: B

De frente para o norte, a esquerda do observador é o oeste. Se a Lua está à esquerda e praticamente no horizonte, ela está a oeste, portanto se pondo (ocaso).

Como a Lua se "atrasa" cerca de 50 min a cada dia, no dia seguinte, no mesmo horário, ela ainda não terá chegado ao horizonte: estará visível, numa posição acima da posição do dia anterior.

Resposta: D

No alto das montanhas há menos atmosfera acima do telescópio e o ar é mais estável e seco, o que reduz a turbulência atmosférica (melhor seeing). Essa é a principal razão para a escolha desses locais.

Resposta: C

Indo da galáxia muito distante até a estrela próxima, vemos que as linhas se deslocam para menores comprimentos de onda (para a esquerda, em direção aos 400 nm), portanto em direção ao azul.

Resposta: C

A OBA indicou no mapa a constelação da Lira e o Polo Celeste Sul (PCS):

I – Correta: o Polo Celeste Sul está acima do horizonte, perto do ponto sul, então o observador está no Hemisfério Sul.

II – Falsa: o Sol, Mercúrio, Vênus e Saturno aparecem alinhados no mapa, e a eclíptica pode ser traçada passando por eles.

III – Correta: a Lira aparece no alto do mapa, para o lado nordeste.

IV – Falsa: o Cinturão de Órion não aparece no mapa.

Resposta: B

As estrelas não estão fixas no céu: elas se movimentam em relação ao Sol, porém com velocidades angulares muito pequenas devido às grandes distâncias. Ao longo de milhares de anos, esse movimento próprio muda a posição relativa das estrelas e, portanto, a forma das constelações. (A precessão muda a orientação do sistema de coordenadas, mas não a forma das constelações.)

Resposta: D

Observe o esquema abaixo para a latitude de Curitiba. Lembre que a altura do polo celeste elevado (no caso, o Polo Sul Celeste, PSC) é igual à latitude do lugar: 25° 25′ 47″.

O equador celeste faz, então, um ângulo de 90° − 25° 25′ 47″ = 64° 34′ 13″ com o horizonte, do lado norte. Um objeto com declinação maior que +64° 34′ 13″ fica sempre abaixo do horizonte de Curitiba e nunca pode ser visto, em qualquer data e horário. Portanto os objetos com δ ≥ +65° não podem ser vistos.

As demais condições não impedem a observação: há objetos visíveis com H < 0h (a leste do meridiano), com azimute menor que 49° e com ângulo zenital maior que 55° (até 90°, acima do horizonte).

Resposta: B

Afirmação I: errada, pois a estrela A pode parecer mais brilhante por ser mais luminosa, e não por estar mais perto.

Afirmação II: errada, pois a escala de magnitudes é invertida; portanto a estrela de magnitude +2 é mais brilhante que a de magnitude +5.

Afirmação III: errada; as gigantes vermelhas são relativamente frias. Elas são muito brilhantes por serem muito luminosas devido ao seu tamanho.

Resposta: D

O tamanho da imagem é L = f·θ, onde f é a distância focal da luneta e θ é o diâmetro angular da Lua expresso em radianos.

Diâmetro angular em radianos:

θ = (30′ × π)/(180° × 60′) ≅ 8,73 × 10⁻³ rad

Distância focal, pela razão focal f/D = 14,2:

f = 14,2 × 0,458 m ≅ 6,5 m

Tamanho da imagem:

L = 6,5 m × 8,73 × 10⁻³ rad ≅ 0,057 m = 5,7 cm

Resposta: A

O ponto 4 é o periastro (ponto da órbita mais próximo de M), onde a estrela m tem a maior velocidade orbital. Como o eixo maior está na direção do observador, nesse ponto a velocidade é toda perpendicular à linha de visada, ou seja, é a velocidade tangencial máxima.

As outras não valem: em 1 (apoastro) a velocidade também é perpendicular à linha de visada, então a velocidade radial é nula; em 3 a estrela se afasta do observador e em 5 se aproxima, então os espectros são deslocados em sentidos opostos; em 2 e 3 a estrela se afasta do observador, e as linhas se deslocam para o vermelho.

Resposta: C

Pela equação de Pogson, com a potência recebida pelo telescópio proporcional ao fluxo:

m₂ − m₁ = −2,5 log (F₂/F₁) = −2,5 log (L₂/L₁)

Com a estrela 2 sendo a mais brilhante (m₂ = −2,0, L₂ = 5,0 × 10⁻⁴ W) e a estrela 1 a menos brilhante (m₁ = +1,5):

−2,0 − (+1,5) = −2,5 log (5,0 × 10⁻⁴/L₁)

log (5,0 × 10⁻⁴/L₁) = 3,5/2,5 = 1,4

L₁ = 5,0 × 10⁻⁴/10^1,4 ≅ 5,0 × 10⁻⁴/25,1 ≅ 2,0 × 10⁻⁵ W

Resposta: B

A interferometria com radiotelescópios usa duas ou mais antenas distintas em conjunto para produzir o efeito de uma única antena de grandes dimensões, aumentando o poder de resolução. O tamanho efetivo dessa "antena" é a separação entre as antenas (a linha de base): quanto maior a distância entre os radiotelescópios, maior o poder de resolução.

Resposta: A

Cefeidas que pulsam mais rapidamente têm P pequeno. Como M é proporcional a menos o log de P, um P menor dá uma magnitude absoluta maior.

Quanto maior o valor da magnitude absoluta, menos luminoso é o objeto. Portanto as Cefeidas que pulsam mais rapidamente são menos luminosas.

Resposta: B

A distância angular D entre as duas estrelas vem da fórmula dos cossenos da trigonometria esférica:

cos D = sen δ₁ · sen δ₂ + cos δ₁ · cos δ₂ · cos(α₁ − α₂)

Convertendo as coordenadas para graus (1h = 15°):

α₁ = 0,72653 h = 10,89795°

δ₁ = −17,98644°

α₂ = 1,62861 h = 24,42917°

δ₂ = −57,23703°

Substituindo:

cos D = sen(−17,98644°) · sen(−57,23703°) + cos(−17,98644°) · cos(−57,23703°) · cos(10,89795° − 24,42917°)

D = 40° 31′ 37,5″

Resposta: B

Na oposição, Marte está a 180° do Sol no céu. Vênus e Mercúrio, por serem planetas internos, nunca se afastam angularmente do Sol mais de cerca de 48° e 28°, respectivamente. Por isso estarão sempre do lado oposto a Marte na ocasião da sua oposição, e não podem estar em conjunção com ele.

Os demais (planetas externos e planetas anões) podem estar em qualquer elongação e, portanto, podem estar em conjunção com Marte na oposição.

Resposta: B

Subindo de 100 m no eixo horizontal até a curva e indo dali até o eixo vertical, chegamos entre 10² e 10⁴ anos, isto é, a cerca de 10³ anos:

O intervalo médio entre quedas de objetos de 100 m é da ordem de 1.000 anos.

Resposta: B

A Lua tem 3474 km e ocupa no céu aproximadamente 30′ = 1800″. Então cada segundo de arco equivale a:

3474 km / 1800″ ≅ 1,93 km por segundo de arco

Como a cratera Santos Dumont tem 8,7 km de diâmetro, só poderemos resolvê-la num telescópio que tenha resolução de pelo menos:

8,7 km / (1,93 km/″) ≅ 4,5″ (desprezando a turbulência atmosférica)

Então, segundo o Critério de Rayleigh:

D_min = 138,4 / 4,5 ≅ 30,7 mm

Resposta: A

A expansão do Universo faz com que todas as galáxias se afastem umas das outras, e qualquer observador vê a mesma lei: 70 km/s para cada Mpc de distância.

Tomando a galáxia E como centro: a galáxia D está a 1 Mpc de distância, portanto se afasta de E a 70 km/s. A Via Láctea está a 2 Mpc de distância de E, portanto se afasta dela a 140 km/s.

Resposta: D

I – Correta: no gráfico, o limite entre fotosfera e cromosfera está na altura de T_min.

II – Correta: o limite entre cromosfera e coroa está na zona de transição, onde a temperatura sobe abruptamente (gradiente máximo).

III e IV – Erradas: as escalas de temperatura e de densidade são logarítmicas, portanto essas grandezas não podem ser direta ou inversamente proporcionais à altura, que está numa escala linear. (Além disso, a densidade diminui com a altura, e a temperatura não diminui sempre: ela passa por um mínimo e depois cresce.)

Resposta: B

Segundo a lei de Stefan-Boltzmann, a luminosidade de uma estrela é proporcional à quarta potência da sua temperatura efetiva (com o mesmo raio).

Multiplicando a temperatura por 1,5, a luminosidade fica multiplicada por:

(1,5)⁴ ≅ 5,06 ≅ 5

Resposta: D

Cada linha escura no espectro de uma estrela está associada à presença de um elemento químico na sua atmosfera, o que pode levar a pensar que estrelas com linhas espectrais diferentes têm composição química diferente. No entanto, a composição química das estrelas em geral é praticamente a mesma: cerca de 90% de hidrogênio e 9% de hélio (em número de átomos); os outros elementos juntos (os "metais") contribuem com 1% a 2%. O hidrogênio é de longe o elemento mais abundante e, ainda assim, suas linhas são fortes em algumas estrelas e fracas em outras (Kepler de Oliveira e Maria de Fátima Saraiva, Astronomia & Astrofísica).

A aparência dos espectros estelares é determinada principalmente pela temperatura efetiva, e não pela abundância dos elementos.

I – Correta: o gráfico mostra que as linhas de hélio (He II e He I) dominam nos tipos O e B.

II, III e IV – Erradas: falam da quantidade (abundância) de cálcio, hidrogênio e TiO nas estrelas, que não pode ser inferida pelo gráfico; ele só mostra a intensidade das linhas.

Resposta: B

Dados:

• mesma magnitude aparente: m₁ = m₂ = m;
• mesmo tipo espectral: T₁ = T₂ = T;
• d₁ = 2·d₂.

Pelo módulo de distância, m − M = 5 log d − 5 (d em parsecs):

Estrela 1: m − M₁ = 5 log(2d₂) − 5

Estrela 2: m − M₂ = 5 log d₂ − 5

Subtraindo a segunda da primeira: M₂ − M₁ = 5 log 2

A luminosidade é L = 4πR²σT⁴. Com a mesma temperatura:

L₂/L₁ = (R₂/R₁)²

Pela relação entre magnitudes absolutas e luminosidades:

M₂ − M₁ = −2,5 log (L₂/L₁) = −2,5 log (R₂/R₁)² = 5 log (R₁/R₂)

Igualando: 5 log (R₁/R₂) = 5 log 2, logo R₁/R₂ = 2. A estrela duas vezes mais distante tem o dobro do raio.

Resposta: A

Do gráfico, estimamos que o comprimento de onda observado da linha H-alfa vale cerca de 7600 Å. Então:

z = (7600 − 6562,8)/6562,8 ≅ 0,16

Isolando v/c na fórmula do redshift relativístico:

(z + 1)² = (1 + v/c)/(1 − v/c) → v/c = [(z + 1)² − 1]/[(z + 1)² + 1]

Substituindo:

v/c = (1,16² − 1)/(1,16² + 1) ≅ 0,35/2,35 ≅ 0,15

Pela Lei de Hubble, d = v/H₀:

d = (0,15 × 3,00 × 10⁵ km/s)/(70 km s⁻¹ Mpc⁻¹) ≈ 643 Mpc

(Sem arredondar v/c, com z = 0,158, obtém-se v/c ≅ 0,146 e d ≅ 625 Mpc: a mesma faixa.)

Resposta: C

Na quadratura, o ângulo Sol–Terra–Marte é de 90°. O triângulo Sol–Terra–Marte é retângulo na Terra, com hipotenusa Sol–Marte = 1,52 U.A. e cateto Sol–Terra = 1 U.A.:

Distância Terra–Marte = √(1,52² − 1²) ≅ 1,14 U.A.

O intervalo de tempo é a ida e a volta do sinal (2 vezes a distância Terra–Marte dividida pela velocidade da luz):

Δt = (2 × 1,14 × 1,5 × 10¹¹ m)/(3 × 10⁸ m/s) ≅ 1,14 × 10³ s ≅ 19 min

Resposta: C

R_e ser 50% maior que R_p equivale a dizer que R_e = (3/2)·R_p.

A velocidade de escape no equador é v_esc = √(2GM/R_e). Como v_crit = v_esc/√2:

v_crit = (1/√2)·√(2GM/R_e) = √(GM/R_e)

Substituindo R_e por (3/2)·R_p:

v_crit = √(GM/((3/2)·R_p)) = √(2GM/(3R_p))

Resposta: B

Como M☉ = 3,3 × 10⁵ M_Terra, a massa perdida por ano é:

10⁻¹³ M☉/ano = 3,3 × 10⁻⁸ M_Terra/ano

Em 4,5 bilhões de anos:

3,3 × 10⁻⁸ M_Terra/ano × 4,5 × 10⁹ anos ≅ 1,5 × 10² M_Terra

Portanto, desde que entrou na Sequência Principal, o Sol já perdeu o equivalente a cerca de 150 Terras.

Resposta: D

Como não existe a ação de forças externas, a energia mecânica total é conservada em todos os pontos da órbita.

Como os pontos estão a distâncias diferentes do Sol, a atração gravitacional também é diferente, pois é inversamente proporcional ao quadrado da distância.

(A energia potencial, −GMm/r, é maior em A, mais distante; e a velocidade é maior em B, mais perto do Sol.)

Resposta: D

O fluxo de projéteis é igual a:

F = (nº de crateras)/(área × tempo)

Como o fluxo é o mesmo nas duas regiões:

F_A = 3200/(9,0 × 10⁵ × t_A) = F_B = 2000/(1,2 × 10⁶ × t_B)

Então:

t_A/t_B = (3200 × 1,2 × 10⁶)/(2000 × 9,0 × 10⁵) ≅ 2,13

Resposta: C

A latitude do lugar (em módulo) é a altura do Polo Sul Celeste. Para uma estrela circumpolar, as passagens meridianas superior e inferior ficam simétricas em relação ao polo, então a altura do polo é a média das alturas máxima e mínima, ou seja, a média dos complementos das distâncias zenitais:

|φ| = [(90° − 81°) + (90° − 22°40′)]/2 = (9° + 67°20′)/2 = 76°20′/2 = 38°10′

Como o lugar fica no hemisfério sul, a latitude é −38°10′.

Resposta: B

O fluxo a uma distância r é:

F(r) = L/(4πr²)

Com r = 117,30 × 1,50 × 10¹¹ m:

F = 3,83 × 10²⁶/[4π × (117,30 × 1,50 × 10¹¹)²] ≅ 9,84 × 10⁻² W/m² ≈ 0,10 W/m² = 1 dW/m² (1 deciwatt por metro quadrado)

Resposta: C

Pelo módulo de distância, com r em parsecs:

m − M = 5 log r − 5

Substituindo:

+6 − (+4,8) = 5 log r − 5 → log r = (6 − 4,8 + 5)/5 = 1,24

Então:

r_min = 10^1,24 ≅ 17,4 pc ≅ 57,4 anos-luz ≈ 60 anos-luz

Resposta: C

A resolução comentada desta questão está no app, no plano OBA (ou os pacotes Olimpíadas e Completo). Treinar esta edição

Se estamos falando de linhas de absorção, estamos falando da atmosfera das estrelas.

As duas estrelas têm o mesmo tipo espectral, portanto temperaturas semelhantes. A largura da linha depende da densidade (pressão) do gás da atmosfera: quanto mais denso o gás, mais frequentes as colisões entre os átomos e mais alargada a linha (alargamento por pressão).

A estrela 1 (M = −6,3) é uma supergigante, com atmosfera muito extensa e rarefeita: linha estreita (W = 0,19 nm). A estrela 2 (M = −0,7) é bem mais compacta, com atmosfera mais densa: linha larga (W = 0,92 nm).

A largura da linha não indica a quantidade de hidrogênio, e uma velocidade radial deslocaria a linha, sem alargá-la.

Resposta: B

A densidade média é ρ = massa/volume, com o volume de uma esfera de raio r = 2GM/c²:

V = (4/3)πr³ = (4/3)π(2GM/c²)³ = (32π/3)·G³M³/c⁶

Então:

ρ = M/V = (3/(32π))·c⁶/(G³M²)

Substituindo os valores (M = 10⁸ × 1,99 × 10³⁰ kg):

ρ = (3/(32π)) × (3 × 10⁸)⁶/[(6,67 × 10⁻¹¹)³ × (10⁸ × 1,99 × 10³⁰)²] ≅ 1,85 × 10³ kg/m³

(Curiosamente, é uma densidade parecida com a da água.)

Resposta: A

• Pelo gráfico, a curva vermelha (componente A) tem amplitude maior do que a curva azul (componente B). Portanto V_A > V_B.
• Num sistema binário, cada componente orbita o centro de massa do sistema com o mesmo período. Portanto P_A = P_B.
• Se a velocidade da componente A é maior que a da B, para o mesmo tempo de revolução em torno do centro de massa, então A está mais afastada do centro de massa que B. Como M_A·a_A = M_B·a_B (ou M_A·V_A = M_B·V_B), a componente mais afastada é a de menor massa: M_A < M_B.

Resposta: D

A resolução comentada desta questão está no app, no plano OBA (ou os pacotes Olimpíadas e Completo). Treinar esta edição

Na representação abaixo, as letras S, M e V representam o Sol, Mercúrio e Vênus, respectivamente.

Na maior elongação, a linha de visada de Vênus a Mercúrio é tangente à órbita de Mercúrio: o ângulo em M é de 90°. Seja v o ângulo em V, que queremos encontrar:

sen v = SM/SV = 0,387/0,719 → v ≅ 32,6°

Resposta: C

A inscrição 200x se refere à relação entre a distância focal do espelho primário e a distância focal da ocular do aparelho:

A = f_espelho/f_ocular

O resultado é conhecido como magnificação (ou aumento), a propriedade de fazer os objetos parecerem maiores.

Resposta: B

O dia 20/03/2016 é dia de equinócio: o Sol nasce no ponto cardeal leste e sua declinação é 0°. Nesse dia, o horário do nascer do Sol praticamente não depende da latitude. Como as duas cidades estão no mesmo fuso horário, é a diferença de longitudes que determina a diferença de horário do nascer do Sol entre elas.

Bertioga está a leste de São Paulo, portanto o Sol nasce mais cedo em Bertioga. A diferença de longitude é de 0,5°, o que equivale a 2 minutos de tempo (24h = 360°, ou seja, 1° = 4 min).

Assim, o Sol nasceu aproximadamente às 06h 08min em Bertioga.

Resposta: A

Para um satélite em órbita circular, a força gravitacional faz o papel de força centrípeta:

m·v²/r = G·m·M/r² → v² = GM/r

Para um satélite estacionário, v = 2πr/T, onde T é o período de rotação da Lua. Então:

(2πr/T)² = GM/r → 4π²r³ = GMT² → r = ∛(GMT²/(4π²))

T_Lua = 29 dias, 12 h, 44 min e 3 s = 2.551.443 s

Substituindo:

r = ∛[(6,67 × 10⁻¹¹)(7,3 × 10²²)(2.551.443)²/(4π²)] ≅ 9,29 × 10⁷ m ≅ 92.944 km

A altura é h = r − r_Lua = 92.944 − 1738 ≅ 91.206 km, cerca de 91 mil km.

Observação: na prática essa órbita não seria estável, porque fica fora da região em que a gravidade da Lua domina sobre a da Terra (cerca de 60 mil km do centro da Lua).

Resposta: D

10″ equivalem a:

10 × π/(180 × 3600) ≅ 4,84 × 10⁻⁵ rad

Para uma circunferência de raio r e ângulo θ em radianos, o comprimento do arco é l = r·θ. Com r = 2 pc:

l = 2 × 3,0 × 10¹⁶ m × 4,84 × 10⁻⁵ ≅ 2,9 × 10¹² m (por ano)

A velocidade tangencial da estrela é, portanto:

v_t = 2,9 × 10¹² m/(365 × 24 × 3600 s) ≅ 9,2 × 10⁴ m/s ≈ 92 km/s

Do triângulo retângulo:

v_e² = v_r² + v_t² → v_e = √(100² + 92²) ≅ 136 km/s ≈ 140 km/s

Resposta: B