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PISM · Matemática

Questões de Trigonometria da PISM

12 questões oficiais da PISM sobre Trigonometria, de 2018 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 8 médias, 2 difíceis.

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5 questões de Trigonometria resolvidas

Questão 1 · PISM 2026 · Módulo II (2º ano) · Questão 12média

A figura abaixo apresenta, de forma simplificada, os níveis de progesterona ao longo de um ciclo menstrual típico de 28 dias.

Imagem da questão

O ciclo se caracteriza por duas fases, a saber: folicular e lútea, cada uma com duração aproximada de 14 dias, separadas pelo processo de ovulação que ocorre no meio do ciclo. Durante a primeira fase, os níveis são baixos, em torno de 1 nanograma por mililitro (ng/mL). Na segunda fase, os níveis aumentam progressivamente até atingir um pico de 25 ng/mL, no meio da duração desta fase. Para descrever a variação dos níveis de progesterona ao longo do ciclo, considere x como a variável que representa o tempo, expresso na unidade dia, e H(x) como a função que fornece a concentração de progesterona, expressa de forma contínua durante o ciclo. Na primeira fase, isto é, para valores de x entre os dias 1 e 14, os níveis são próximos de 1 ng/mL e consideramos H(x) constante igual a 1. Para a segunda fase, correspondente aos valores de x entre 14 e 28, buscou-se expressar H(x) como uma função do tipo A + B · sen [C(x + D)], sendo A, B, C e D constantes reais.

A função que melhor descreve H(x) na fase lútea é

  1. A

    H(x) = 25 · sen[(π/7)(x − 14)]

  2. B

    H(x) = 25 · sen[(π/14)(x − 14)]

  3. C

    H(x) = 1 + 24 · sen[(π/7)(x − 14)]

  4. D

    H(x) = 1 + 25 · sen[(π/7)(x − 14)]

  5. E

    H(x) = 1 + 24 · sen[(π/14)(x − 14)]

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Gabarito: E

Pelo gráfico, na fase lútea a curva é meia onda de seno: começa em 1 ng/mL no dia 14, sobe até 25 no dia 21 e volta a 1 no dia 28.

1. Valor mínimo e amplitude
Nos extremos (dias 14 e 28) o seno vale 0, então H = A = 1.
No pico o seno vale 1: A + B = 25, logo B = 24.

2. Período
De 14 a 28 o argumento do seno deve ir de 0 a π (meia volta), em 14 dias:
C × 14 = π, logo C = π/14. Com D = −14, o argumento é zero em x = 14.

3. Conferência
x = 21: sen[(π/14) × 7] = sen(π/2) = 1, H = 1 + 24 = 25. ✔
x = 28: sen(π) = 0, H = 1. ✔

Resposta: E

Por que as outras atraem: com π/7, o seno completaria uma volta inteira em 14 dias e ficaria negativo depois do dia 21 (A, C, D). Sem o "1 +" (A, B), a função começaria em 0, não em 1. Em D, o pico seria 26.

Dica: em A + B · sen(...), A é a linha central e B a amplitude; o período é 2π ÷ C.

Questão 2 · PISM 2025 · Módulo I (1º ano) · Questão 13média

Considere um triângulo retângulo com hipotenusa medindo √58 e catetos medindo x − 2 e x + 2, sendo x um número real.

O seno do menor ângulo desse triângulo é

  1. A

    7/3

  2. B

    (7√58)/58

  3. C

    3/7

  4. D

    (3√58)/58

  5. E

    √58/58

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Gabarito: D

1. Pitágoras:
(x − 2)² + (x + 2)² = (√58)²
x² − 4x + 4 + x² + 4x + 4 = 58
2x² + 8 = 58 → x² = 25 → x = 5 (medida positiva)

2. Catetos:
x − 2 = 3 e x + 2 = 7

3. Seno do menor ângulo:
O menor ângulo fica oposto ao menor cateto (3):
sen = 3/√58 = (3√58)/58

Resposta: D

Por que as outras atraem: B é o seno do maior ângulo agudo (7/√58); C (3/7) é a tangente do menor ângulo; A não pode ser seno, pois é maior que 1.

Dica: o menor ângulo de um triângulo é oposto ao menor lado.

Questão 3 · PISM 2025 · Módulo II (2º ano) · Questão 13média

O quadro abaixo apresenta o preço médio, em reais, pago por uma saca de 60 Kg de café arábica no estado de São Paulo durante o ano de 2023.

Imagem da questão

Disponível em: www.cepea.esalq.usp.br. Acesso em: 10 jul. 2024 (adaptado).

Representando os meses de janeiro a dezembro por um parâmetro numérico x, que assume os valores inteiros de 1 a 12, sendo 1 para o mês de janeiro e 12 para o mês de dezembro, buscou-se representar, em 2023, o preço médio da saca por uma função P(x) em função do mês descrito pela variável numérica x, considerando que esses preços variam periodicamente, de forma contínua.

Uma expressão que pode descrever a função P(x) é

  1. A

    100 + 1000 cos((πx − π)/12)

  2. B

    1000 + 100 sen((πx − π)/6)

  3. C

    100 + 1000 cos((πx − π)/6)

  4. D

    1000 + 100 sen((πx − π)/12)

  5. E

    1000 + 100 cos((πx − π)/12)

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Gabarito: B

No quadro: janeiro (x = 1) R$ 1 000; abril (x = 4) R$ 1 100; julho (x = 7) R$ 1 000; outubro (x = 10) R$ 900.

1. Formato
O preço oscila em torno de 1000 com amplitude 100 (vai de 900 a 1100). Logo P(x) = 1000 + 100 · (seno ou cosseno). Isso já elimina A e C.

2. Período
Volta ao mesmo ponto a cada 12 meses: de jan (1000, subindo) a abr (máximo) são 3 meses, ¼ do período. Período 12 → o argumento deve ser (πx − π)/6, pois 2π ÷ (π/6) = 12.

3. Teste em B: P(x) = 1000 + 100 sen((πx − π)/6)
- x = 1: sen 0 = 0 → 1000
- x = 4: sen(π/2) = 1 → 1100
- x = 7: sen π = 0 → 1000
- x = 10: sen(3π/2) = −1 → 900

Todos batem.

Resposta: B

Por que as outras atraem: com /12 (D e E), o período seria 24 meses; E ainda daria P(1) = 1100.

Dica: em funções trigonométricas de modelagem, leia primeiro o valor médio e a amplitude e depois teste os pontos da tabela.

Questão 4 · PISM 2020 · Módulo I (1º ano) · Questão 14média

Na figura abaixo, o ponto A é vértice comum dos triângulos retângulos ABC, ACD e ADE.

Imagem da questão

O comprimento do segmento EC, em centímetros, é

  1. A

    3 + √3

  2. B

    9/4

  3. C

    1 + √3

  4. D

    (1 + √3)/2

  5. E

    (2√2 + √6)/2

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Gabarito: C

Siga os triângulos retângulos a partir do lado conhecido, CB = √3 cm.

1. Triângulo ABC (reto em C, ângulo de 30° em B):
tg 30° = AC/CB → AC = √3 × (√3/3) = 1 cm

2. Triângulo ACD (reto em A, ângulo de 45° em C): é isósceles, AD = AC = 1 cm.

3. Triângulo ADE (reto em A, ângulo de 60° em D):
tg 60° = AE/AD → AE = √3 × 1 = √3 cm

4. EC: E, A e C estão alinhados (o segmento vertical), então
EC = EA + AC = √3 + 1 cm

Resposta: C

Por que as outras atraem: 3 + √3 (A) aparece se você usar AC = √3; (1 + √3)/2 (D) vem de usar seno ou cosseno no lugar da tangente.

Dica: tangente = cateto oposto/cateto adjacente; use-a quando conhecer um cateto e quiser o outro.

Questão 5 · PISM 2018 · Módulo II (2º ano) · Questão 12média

Determine o conjunto solução para a equação 6 sen2(x) − 9 sen(x) + 3 = 0.

  1. A

    {x ∈ ℝ; x = π/2 + 2kπ ou x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ}

  2. B

    {x ∈ ℝ; x = π/4 + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ}

  3. C

    {x ∈ ℝ; x = 2kπ ou x = π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ}

  4. D

    {x ∈ ℝ; x = π/4 ou x = π/3}

  5. E

    {x ∈ ℝ; x = π/6 ou x = π/2 ou x = π/4}

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Gabarito: A

1. Simplificar

6 sen²x − 9 sen x + 3 = 0. Dividindo por 3: 2 sen²x − 3 sen x + 1 = 0.

2. Resolver como equação do 2º grau (y = sen x)

2y² − 3y + 1 = 0 → Δ = 9 − 8 = 1 → y = (3 ± 1) ÷ 4 → y = 1 ou y = 1/2.

3. Voltar para x

  • sen x = 1 → x = π/2 + 2kπ
  • sen x = 1/2 → x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ

Conjunto solução: {x ∈ ℝ; x = π/2 + 2kπ ou x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ}.

Resposta: A

Por que as outras atraem: D e E esquecem que a equação é em ℝ e listam só alguns ângulos, sem o + 2kπ. Também é comum esquecer o segundo ângulo do seno, 5π/6.

Dica: sen x = a (com −1 < a < 1) tem duas soluções por volta: x e π − x.