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PISM · Matemática

Questões de Sequências e progressões (PA e PG) da PISM

10 questões oficiais da PISM sobre Sequências e progressões (PA e PG), de 2017 a 2024, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 7 médias, 1 difícil.

Treine Sequências e progressões (PA e PG) com 10 questões da PISM

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4 questões de Sequências e progressões (PA e PG) resolvidas

Questão 1 · PISM 2024 · Módulo II (2º ano) · Questão 12média

Considere uma progressão geométrica de termos positivos cujo 1º termo é igual à razão e o 15º termo é 2.

Qual é o 75º termo da progressão?

  1. A

    32

  2. B

    64

  3. C

    256

  4. D

    512

  5. E

    1024

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Gabarito: A

1. Termo geral

Na PG, an = a1 · qn−1. Como a1 = q:

an = q · qn−1 = qn

2. Usar o 15º termo

a15 = q15 = 2

3. Calcular o 75º termo

a75 = q75 = (q15)5 = 25 = 32

Não é preciso achar q (que seria a raiz 15ª de 2).

Resposta: A

Por que as outras atraem: 64 = 26 aparece se alguém usar 75 ÷ 15 + 1; 1024 = 210 vem de confundir expoentes.

Dica: escreva o termo pedido como potência do termo dado; 75 = 15 × 5.

Questão 2 · PISM 2021 · Módulo II (2º ano) · Questão 12fácil

Em uma progressão aritmética, a soma dos dez primeiros termos é 400 e a soma do décimo primeiro ao vigésimo termo é 1000. Calcule o primeiro termo e a razão.

  1. A

    primeiro termo igual a 11 e razão igual a 7

  2. B

    primeiro termo igual a 12 e razão igual a 8

  3. C

    primeiro termo igual a 10 e razão igual a 9

  4. D

    primeiro termo igual a 15 e razão igual a 10

  5. E

    primeiro termo igual a 13 e razão igual a 6

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Gabarito: E

Use a soma da PA: Sn = n × (2a1 + (n − 1)r) ÷ 2.

1. Dez primeiros termos:
S10 = 10 × (2a1 + 9r) ÷ 2 = 10a1 + 45r = 400

2. Vinte primeiros termos: a soma do 11º ao 20º é 1000, então S20 = 400 + 1000 = 1400.
S20 = 20 × (2a1 + 19r) ÷ 2 = 20a1 + 190r = 1400

3. Resolvendo: dobrando a primeira equação, 20a1 + 90r = 800. Subtraindo da segunda:
100r = 600 → r = 6
10a1 + 45 × 6 = 400 → 10a1 = 130 → a1 = 13

Resposta: E.

Dica: atalho: cada termo do 11º ao 20º é 10r maior que o correspondente do 1º ao 10º, então 1000 − 400 = 10 × 10r, e r = 6.

Questão 3 · PISM 2020 · Módulo II (2º ano) · Questão 14média

Em uma Progressão Geométrica com menos de 10 termos, seu terceiro termo é 81. Sabe-se ainda que 24 e 16 são dois outros termos dessa progressão, não necessariamente consecutivos.

Qual a posição que o número 16 ocupa nessa sequência?

  1. A

    5ª

  2. B

    6ª

  3. C

    7ª

  4. D

    8ª

  5. E

    9ª

Ver gabarito e resolução

Gabarito: C

1. A razão. Os termos 81, 24 e 16 são potências de 3 e de 2: 81 = 34, 24 = 23 × 3, 16 = 24. Indo de 81 a 16, cada passo troca um fator 3 por um fator 2, ou seja, multiplica por q = 2/3.

2. Os termos. a3 = 81; a4 = 81 × 2/3 = 54; a5 = 36; a6 = 24; a7 = 16.

Conferindo: 16 = 81 × (2/3)4 = 81 × 16/81 ✓. (Uma razão menor, como √(2/3), levaria 16 para depois do 10º termo, o que o enunciado proíbe.)

Resposta: C (7ª posição).

Dica: em PG com números "redondos", fatore os termos em primos para descobrir a razão.

Questão 4 · PISM 2018 · Módulo II (2º ano) · Questão 13média

O fractal denominado floco de neve de Koch é obtido partindo-se de um triângulo equilátero. Divide-se cada lado desse triângulo em 3 segmentos de mesmo comprimento, desenha-se um novo triângulo equilátero a partir do segmento do meio e retira-se sua base, conforme figura abaixo. Esse processo ocorre indefinidamente para obter o floco de neve.

Imagem da questão

Fonte: disponível em <goo.gl/MfBH7V>

Qual o número de lados da sétima figura, isto é, após ocorrer 6 vezes esse processo?

  1. A

    1024

  2. B

    3072

  3. C

    4096

  4. D

    7048

  5. E

    12288

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Gabarito: E

1. O que acontece com cada lado

A cada passo, cada lado é dividido em 3 partes, a do meio é retirada e no lugar entram os 2 lados de um novo triângulo. Cada lado vira 4 lados.

2. Sequência do número de lados

3 → 12 → 48 → …, uma PG de razão 4 começando em 3.

3. Sétima figura (6 aplicações do processo)

L = 3 × 4⁶ = 3 × 4096 = 12 288.

Resposta: E

Por que as outras atraem: a C (4096) é só 4⁶, sem multiplicar pelos 3 lados iniciais. A B (3072) usa 5 passos em vez de 6.

Dica: em processos que se repetem, conte o que acontece com um elemento em um passo (aqui, 1 lado → 4 lados) e eleve à quantidade de passos.