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PISM · Matemática

Questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos da PISM

5 questões oficiais da PISM sobre Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos, de 2018 a 2024, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 1 média, 1 difícil.

Treine Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos com 5 questões da PISM

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Treinar Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos

3 questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos resolvidas

Questão 1 · PISM 2024 · Módulo I (1º ano) · Questão 15média

No triângulo ABC, retângulo em B, constrói-se o retângulo DEFG de diagonal 10 cm, conforme a figura abaixo.

Imagem da questão

O lado AD do triângulo AED mede 9 cm e o lado GC do triângulo GFC mede 4 cm.

A área do retângulo DEFG, em centímetros quadrados, mede

  1. A

    28.

  2. B

    48.

  3. C

    60.

  4. D

    80.

  5. E

    87.

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Gabarito: B

O retângulo DEFG tem D e G sobre AC, E sobre AB e F sobre BC. Chame de h a altura do retângulo: DE = FG = h.

1. Triângulos semelhantes

AED (reto em D) e FGC (reto em G) são semelhantes ao triângulo ABC (reto em B). Como os ângulos em A e C são complementares, o ângulo AED é igual ao ângulo C:

DE/AD = GC/FG → h/9 = 4/h

h² = 36 → h = 6 cm

2. Base do retângulo (Pitágoras na diagonal)

DG² + h² = 10² → DG² = 100 − 36 = 64 → DG = 8 cm

3. Área

A = 8 × 6 = 48 cm²

Resposta: B

Por que as outras atraem: C (60) multiplica 6 por 10, usando a diagonal como lado. A (28) soma em vez de multiplicar.

Dica: quadrado ou retângulo inscrito num triângulo retângulo com a base na hipotenusa: a altura satisfaz h² = AD·GC, como a altura relativa à hipotenusa.

Questão 2 · PISM 2019 · Módulo I (1º ano) · Questão 14difícil

Uma folha de papel retangular (Figura 1) é dobrada conforme indicado na Figura 2 abaixo:

Imagem da questão

A área do triângulo cinza escuro na Figura 2, formado após a dobra da folha, mede, em centímetros quadrados,

  1. A

    31,50

  2. B

    34,65

  3. C

    47,25

  4. D

    63,00

  5. E

    189,00

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Gabarito: C

Entenda a dobra: a parte de cima da folha foi dobrada para baixo. O canto superior direito foi parar sobre a borda de baixo (ponto P), e o canto superior esquerdo foi parar fora da folha, à esquerda (ponto A). A aba dobrada (cinza claro) tem ângulos retos em A e em P, que eram cantos da folha.

Chame de B o ponto da borda esquerda onde a dobra começa, C o ponto onde a aba cruza a borda esquerda, O o canto inferior esquerdo e Q o ponto da borda direita a 9 cm do chão.

1. Três triângulos retângulos semelhantes

  • Triângulo ABC (fora da folha): reto em A, com AB = 6 cm e AC = 7 cm.
  • Triângulo COP (cinza claro, embaixo à esquerda): reto em O. O ângulo em C é igual ao de ABC (opostos pelo vértice).
  • Triângulo do cinza escuro: reto no canto inferior direito, com cateto vertical 9 cm. Como o ângulo em P é reto, seus ângulos agudos são os mesmos dos outros dois.

2. Proporção

Em ABC, tangente do ângulo em C = AB/AC = 6/7. No triângulo COP, isso dá OP/OC = 6/7.

No triângulo escuro, o ângulo em P é complementar ao ângulo OPC, então: 9 ÷ (cateto horizontal) = OP/OC = 6/7.

Cateto horizontal = 9 × 7/6 = 10,5 cm

3. Área

A = (10,5 × 9) ÷ 2 = 47,25 cm²

Resposta: C

Dica: em dobras de papel, os cantos dobrados continuam retos; isso quase sempre gera triângulos retângulos semelhantes.

Questão 3 · PISM 2018 · Módulo I (1º ano) · Questão 14fácil

Quais são, respectivamente, as medidas do lado, da diagonal e da área do quadrado ACEF, sabendo que o lado AB do quadrado ABCD mede 2 cm?

Imagem da questão
  1. A

    2√2 cm, 4 cm, 8 cm²

  2. B

    2√2 cm, 4 cm, 10 cm²

  3. C

    4√2 cm, 8 cm, 10 cm²

  4. D

    8 cm, 8 cm, 16 cm²

  5. E

    √2 cm, 8 cm, 10 cm²

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Gabarito: A

Na figura, o lado do quadrado maior ACEF é a diagonal AC do quadrado ABCD.

1. Lado de ACEF

A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ√2. Com AB = 2 cm: AC = 2√2 cm.

2. Diagonal de ACEF

(2√2)·√2 = 2·2 = 4 cm.

3. Área de ACEF

(2√2)² = 4·2 = 8 cm².

Resposta: A (2√2 cm, 4 cm, 8 cm²).

Dica: o quadrado construído sobre a diagonal tem o dobro da área do original (aqui, 8 = 2 × 4).