6 questões oficiais da PISM sobre Matrizes e sistemas lineares, de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 3 médias.
Treine Matrizes e sistemas lineares com 6 questões da PISM
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Quatro amigas compraram bombons em uma doceria. Ana comprou 2 bombons de uva, 1 de morango, 1 de ameixa e pagou 15 reais. Beatriz comprou 1 bombom de uva, 1 de ameixa e pagou 8 reais. Carla comprou 2 bombons de morango, 1 de ameixa e pagou 13 reais. Já Denise comprou 1 bombom de uva, 1 de morango e 2 de ameixa.
Quantos reais Denise pagou pelos bombons que comprou?
A
12
B
15
C
16
D
17
E
21
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Gabarito: D
Sejam u, m e a os preços dos bombons de uva, morango e ameixa.
1. Sistema Ana: 2u + m + a = 15 Beatriz: u + a = 8 Carla: 2m + a = 13
2. Resolvendo Ana − Beatriz: u + m = 7 u = 8 − a e m = (13 − a) ÷ 2 8 − a + (13 − a) ÷ 2 = 7 → 16 − 2a + 13 − a = 14 → 3a = 15 → a = 5 u = 3 e m = 4.
3. Denise u + m + 2a = 3 + 4 + 10 = 17 reais
Resposta: D
Dica: muitas vezes dá para chegar ao pedido combinando equações; aqui, Denise = (u + m) + 2a = 7 + 10.
Considere k ∈ ℝ e o sistema de equações lineares cujas incógnitas reais são representadas por x e y:
3x + ky = 2 x − y = 1
De acordo com o número de soluções, o sistema linear dado é classificado como
A
possível e determinado para qualquer k ∈ ℝ
B
possível e indeterminado para qualquer k ∈ ℝ
C
impossível se k ≠ −3
D
possível e indeterminado se k = 3
E
possível e determinado se k ≠ −3
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Gabarito: E
1. Determinante dos coeficientes Linhas (3, k) e (1, −1): D = 3 · (−1) − k · 1 = −3 − k
2. Classificação - D ≠ 0 ⇔ k ≠ −3 → sistema possível e determinado (solução única). - k = −3: 3x − 3y = 2 e x − y = 1. Multiplicando a segunda por 3: 3x − 3y = 3. Como 2 ≠ 3, o sistema é impossível.
Logo, o sistema é possível e determinado se k ≠ −3.
Resposta: E
Por que as outras atraem: C troca a condição (o sistema é impossível justamente quando k = −3); D usa o sinal errado.
Dica: em sistemas 2 × 2, D ≠ 0 garante solução única; com D = 0, verifique se as equações são proporcionais (indeterminado) ou contraditórias (impossível).
Em um edifício de 20 andares, há alguns andares com somente dois apartamentos, e os demais andares possuem três apartamentos cada. No total são 54 apartamentos.
Nesse edifício, a quantidade de andares que possuem três apartamentos é
A
8
B
10
C
12
D
14
E
27
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Gabarito: D
Chame de x os andares com 2 apartamentos e de y os andares com 3.
1. Montando o sistema: x + y = 20 2x + 3y = 54
2. Resolvendo: multiplicando a primeira por 2: 2x + 2y = 40. Subtraindo da segunda: y = 14. Então x = 6.
Conferindo: 6 × 2 + 14 × 3 = 12 + 42 = 54 ✓
Resposta: D (14 andares).
Por que as outras atraem: 27 é 54 ÷ 2 (como se todos tivessem 2 apartamentos), e 8 ou 12 vêm de erros na eliminação.
Dica: em problemas de “dois tipos com total conhecido”, monte duas equações: uma para a quantidade de itens e outra para o total.
com a, b, c, d, e, f ∈ ℝ \ {0}, é CORRETO afirmar que:
A
Se a/b = d/e e c/b = f/e, o sistema possui uma única solução.
B
Se a/b = d/e e c/b ≠ f/e, o sistema não possui solução.
C
Se a/b ≠ d/e, o sistema possui infinitas soluções.
D
Se a/b = d/e e c/b = f/e, o sistema não possui solução.
E
Se a/b ≠ d/e, o sistema não possui solução.
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Gabarito: B
Cada equação é uma reta. Isolando y (b e e não são nulos):
1ª: y = −(a/b)·x + c/b
2ª: y = −(d/e)·x + f/e
As inclinações são −a/b e −d/e; os coeficientes lineares são c/b e f/e.
Se a/b ≠ d/e, as inclinações são diferentes e as retas se cortam em um ponto: uma única solução. Isso derruba C e E.
Se a/b = d/e e c/b = f/e, as retas coincidem: infinitas soluções. Isso derruba A e D.
Se a/b = d/e e c/b ≠ f/e, as retas são paralelas e distintas: nenhuma solução.
Resposta: B
Dica: sistema 2 × 2 é a posição relativa de duas retas: concorrentes (possível e determinado), coincidentes (possível e indeterminado), paralelas (impossível).