Questões de Geometria plana (áreas e perímetros) da PISM

No mapa, o trapézio retângulo tem:

• base menor (topo): 200 m
• base maior (Rua Espírito Santo): 1 100 m
• lado oblíquo (Av. Francisco Bernardino): 1 500 m
• altura (Rua Santo Antônio, com o ângulo reto): desconhecida, h

1. Altura por Pitágoras

Baixando uma perpendicular do fim da base menor, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1 500 m e cateto horizontal 1 100 − 200 = 900 m:

h² = 1 500² − 900² = 2 250 000 − 810 000 = 1 440 000 → h = 1 200 m

2. Área do trapézio

A = (B + b) × h ÷ 2 = (1 100 + 200) × 1 200 ÷ 2 = 1 300 × 600 = 780 000 m²

Resposta: C

Por que as outras atraem: a D esquece de dividir por 2 (1 300 × 1 200); a E multiplica a base maior pelo lado oblíquo (1 100 × 1 500), como se o lado inclinado fosse a altura; a A é o perímetro (200 + 1 100 + 1 500 + 1 200 = 4 000 m).

Dica: no trapézio retângulo, a diferença entre as bases e o lado oblíquo formam um triângulo retângulo com a altura.

1. Altura relativa à hipotenusa:
Área do triângulo = (6 × 8) ÷ 2 = 24 m²
Também vale (10 × h) ÷ 2 = 24 → h = 4,8 m

2. Retângulo apoiado na hipotenusa:
Seja y a altura do retângulo (perpendicular à hipotenusa) e x o lado sobre ela. O lado de cima do retângulo forma, com o vértice do ângulo reto, um triângulo semelhante ao grande:
x/10 = (4,8 − y)/4,8 → x = 10 × (4,8 − y)/4,8

3. Área:
A = x × y = (10/4,8) × y × (4,8 − y)
É uma parábola com máximo no meio das raízes 0 e 4,8: y = 2,4 m
Então x = 10 × 2,4/4,8 = 5 m
A = 5 × 2,4 = 12 m²

Resposta: D

Por que as outras atraem: 24 m² é a área do triângulo inteiro, impossível para o retângulo.

Dica: o maior retângulo inscrito num triângulo, com um lado sobre a base, tem metade da altura e metade da área do triângulo.

Leia a figura: as seis retas por O dividem a circunferência em 12 arcos iguais, de 360° ÷ 12 = 30° cada. A região cinza fica entre duas retas vizinhas (ângulo de 30°) e tem:

• o lado de dentro sobre o arco da circunferência de raio 10 km;
• um vértice sobre a circunferência de 30 km (numa das retas) e outro sobre a de 40 km (na outra reta), ligados por um segmento.

Então a região é um triângulo com vértice em O, menos um setor circular.

1. Triângulo com lados 30 e 40 e ângulo de 30° entre eles

A = (1/2) × 30 × 40 × sen 30° = (1/2) × 1200 × (1/2) = 300 km²

2. Setor de raio 10 e 30°

A = (30/360) × π × 10² = (1/12) × 3 × 100 = 25 km²

3. Área queimada

300 − 25 = 275 km²

Resposta: A

Por que as outras atraem: 287,5 e 295 aparecem quando se erra o raio de um dos vértices ou se usa a área do setor errada; 575 soma em vez de subtrair.

Dica: a área de um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles é (1/2)·a·b·sen θ; setor de θ graus é (θ/360)·πr².

Divida a sala da figura em duas partes.

1. Retângulo ABEF: 6 m × 4 m = 24 m².

2. Trapézio BCDE: os lados paralelos são BE = 4 m (altura do retângulo) e CD = 2 m; a distância entre eles é 2 m.
Área = (4 + 2) × 2 ÷ 2 = 6 m².

3. Área total: 24 + 6 = 30 m².

4. Custo: 30 × R$ 48,00 = R$ 1.440,00.

Resposta: D.

Por que as outras atraem: R$ 1.152,00 é só o retângulo (24 m²); R$ 2.304,00 trata a sala toda como um retângulo de 8 m × 6 m.

Dica: figura irregular → recorte em retângulos, triângulos e trapézios e some as áreas.