PISM · Matemática

Questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) da PISM

14 questões oficiais da PISM sobre Geometria espacial (volumes e sólidos), de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 7 médias, 4 difíceis.

Treine Geometria espacial (volumes e sólidos) com 14 questões da PISM

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6 questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) resolvidas

Questão 1 · PISM 2026 · Módulo II (2º ano) · Questão 13fácil

Após a realização de uma obra, a areia que sobrou ficou empilhada, em formato de um cone circular reto cujo raio da base mede 5 m e, cuja altura, mede 3 m. Essa areia será armazenada em barris de formato cilíndrico cujas bases possuem diâmetro medindo 1 m e altura medindo 80 cm.

Qual é a quantidade mínima de barris que serão utilizados para armazenar toda essa areia?

A
19
B
32
C
125
D
375
E
1 125

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Gabarito: C

1. Volume de areia (cone)
V = (1/3) × π × r² × h = (1/3) × π × 5² × 3 = 25π m³

2. Volume de um barril (cilindro)
Diâmetro 1 m, raio 0,5 m; altura 80 cm = 0,8 m.
V = π × 0,5² × 0,8 = π × 0,25 × 0,8 = 0,2π m³

3. Número de barris
25π ÷ 0,2π = 125

Resposta: C (125).

Por que as outras atraem: esquecer o 1/3 do cone dá 375 (D); usar o diâmetro como raio dá um barril 4 vezes maior e cerca de 32 barris (B).

Dica: antes de dividir volumes, converta tudo para a mesma unidade (aqui, cm para m).

Questão 2 · PISM 2025 · Módulo II (2º ano) · Questão 12média

Lionel usa um filtro de coador de café cujo formato é o de um cone reto com base circular de altura 10 cm e com diâmetro da base igual a 12 cm.

Ao preparar o café, o pó de café se dispõe sobre o coador formando um cone reto sólido com base circular paralela à base do coador ocupando-o até a metade de sua altura. A figura abaixo apresenta uma seção plana do coador que ilustra o pó de café no coador.

12 cm

10 cm

A densidade do pó de café utilizado por Lionel é de 0,4 g/cm³.

A quantidade, em gramas, de pó utilizado no preparo de café é igual a

A
72
B
54
C
50
D
48
E
18

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Gabarito: E

O pó forma um cone semelhante ao coador, com o vértice embaixo, ocupando metade da altura.

1. Volume do coador
Raio = 12 ÷ 2 = 6 cm; altura = 10 cm.
V = (1/3) · π · r² · h = (1/3) · 3 · 36 · 10 = 360 cm³ (com π = 3).

2. Volume do pó
A razão de semelhança é 1/2 (metade da altura), então a razão entre volumes é (1/2)³ = 1/8.
V_pó = 360 ÷ 8 = 45 cm³
(Conferindo: raio 3 cm e altura 5 cm → (1/3) · 3 · 9 · 5 = 45 cm³.)

3. Massa
m = d · V = 0,4 · 45 = 18 g

Resposta: E

Por que as outras atraem: quem usa a razão 1/2 para o volume encontra 72 g (A); o volume do cone todo daria 144 g.

Dica: em sólidos semelhantes, comprimentos na razão k dão volumes na razão k³.

Questão 3 · PISM 2024 · Módulo II (2º ano) · Questão 13difícil

Para produzir a caixa de um brinquedo, dois tetraedros regulares e iguais são unidos por uma face de modo que coincidam perfeitamente. Quando a caixa está pronta, a distância entre os vértices não unidos dos dois tetraedros é de 20 cm.

A quantidade de plástico, em centímetros quadrados, utilizada para cobrir a superfície externa da caixa pronta é

A
150√3.
B
200√3.
C
225√3.
D
450√3.
E
600√3.

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Gabarito: C

Os dois tetraedros colados pela face formam uma bipirâmide. Os vértices não unidos ficam um de cada lado da face comum, na mesma reta perpendicular a ela. Assim, a distância entre eles é duas alturas do tetraedro.

1. Altura do tetraedro

2h = 20 → h = 10 cm

2. Aresta

No tetraedro regular de aresta a, h = a√6/3.

a√6/3 = 10 → a = 30/√6 = 5√6 → a² = 150

3. Superfície externa

A face colada fica dentro da caixa. Sobram 3 faces de cada tetraedro: 6 triângulos equiláteros.

Área = 6 × (a²√3/4) = 6 × 150√3/4 = 225√3 cm²

Resposta: C

Por que as outras atraem: 150√3 sai de contar só 4 faces; 450√3 aparece ao usar a²√3/2 (o dobro da área certa) para as 6 faces; 600√3, ao fazer isso com as 8 faces, incluindo as coladas.

Dica: altura do tetraedro regular de aresta a: a√6/3; área da face: a²√3/4.

Questão 4 · PISM 2023 · Módulo II (2º ano) · Questão 15média

Uma porta giratória é composta por três retângulos com um lado comum fixado no eixo que une os centros das bases de um cilindro equilátero como representado na figura abaixo. Cada um dos retângulos gira internamente a este cilindro que tem área lateral de 12,4 m², mantendo uma distância de 2 cm da superfície lateral e das bases.

A
2 e 1
B
1,98 e 0,98
C
1,96 e 0,98
D
2 e 0,98
E
1,96 e 1

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Gabarito: C

1. Cilindro equilátero: a altura é igual ao diâmetro, h = 2r.

2. Área lateral:
A_L = 2πr·h = 2πr·2r = 4πr²
4 × 3,1 × r² = 12,4 → r² = 1 → r = 1 m e h = 2 m

3. Retângulo da porta. Cada folha vai do eixo até perto da parede, com 2 cm = 0,02 m de folga da superfície lateral e das duas bases:
- altura: 2 − 2 × 0,02 = 1,96 m (folga em cima e embaixo);
- largura: 1 − 0,02 = 0,98 m (folga só na parede; a outra borda está no eixo).

Resposta: C.

Por que as outras atraem: E desconta a folga só na altura; B desconta só uma folga na altura.

Dica: em "cilindro equilátero", traduza logo: h = 2r.

Questão 5 · PISM 2022 · Módulo II (2º ano) · Questão 14média

A Grande Pirâmide de Gizé, que está localizada no Egito, é considerada uma das maiores e mais pesadas obras já construídas pela humanidade. Uma miniatura realista da pirâmide de Gizé pode ser encontrada em certo antiquário. Esta miniatura é uma pirâmide regular, que possui a aresta de sua base quadrada medindo 24 cm enquanto que sua altura mede 16 cm.

A área total da superfície da miniatura da pirâmide mede

A
768 cm²
B
960 cm²
C
1344 cm²
D
1536 cm²
E
2112 cm²

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Gabarito: D

1. Apótema da pirâmide (altura de cada face). Do centro da base ao meio de uma aresta são 24 ÷ 2 = 12 cm. Com a altura de 16 cm, por Pitágoras:
g² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 ⇒ g = 20 cm.

2. Área lateral (4 triângulos). 4 × (24 × 20 ÷ 2) = 960 cm².

3. Área da base. 24² = 576 cm².

4. Área total. 960 + 576 = 1536 cm².

Resposta: D

Por que as outras atraem: B é só a área lateral; quem usa a altura (16) no lugar do apótema acha 768 cm² de lateral (A) e 1344 cm² no total (C).

Dica: nas faces da pirâmide, a altura do triângulo é o apótema da pirâmide, não a altura do sólido.

Questão 6 · PISM 2020 · Módulo II (2º ano) · Questão 12difícil

O octaedro regular apresentado na figura a seguir será seccionado por um plano que passará por pontos do interior desse octaedro.

Quais tipos de polígonos poderão ser produzidos por este tipo de secção?

A
Apenas quadriláteros, pentágonos, hexágonos e octógonos.
B
Apenas triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos.
C
Apenas quadriláteros.
D
Apenas quadriláteros e hexágonos.
E
Apenas quadriláteros, pentágonos e hexágonos.

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Gabarito: E

O octaedro regular tem 6 vértices, 12 arestas e 8 faces, e em cada vértice chegam 4 arestas. O polígono da secção tem um lado em cada face cortada (um vértice em cada aresta cortada).

1. Não sai triângulo. O caso com menos lados é o plano que separa um único vértice do resto: ele corta as 4 arestas desse vértice → quadrilátero (por exemplo, o quadrado que passa pelo centro, paralelo à base).

2. Hexágono. Se o plano separa dois vértices vizinhos (ou os três vértices de uma face) dos demais, corta 6 arestas → hexágono (a secção paralela a duas faces opostas, pelo centro, é um hexágono regular).

3. Pentágono. Quando o plano passa por um vértice e separa um vértice vizinho, corta 4 arestas e mais o vértice → pentágono.

4. Não sai octógono. As 8 faces formam 4 pares de faces paralelas, e uma secção nunca consegue cortar as 8; o máximo é 6 lados.

Resposta: E.

Por que as outras atraem: B inclui triângulos, que aparecem no cubo e no tetraedro, mas não no octaedro (vértices de grau 4); A conta uma face por lado e chega a 8.

Dica: o número de lados da secção é o número de faces que o plano atravessa; comece pelo corte perto de um vértice.