treinamento 101.

PISM · Matemática

Questões de Geometria analítica da PISM

17 questões oficiais da PISM sobre Geometria analítica, de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 8 fáceis, 8 médias, 1 difícil.

Treine Geometria analítica com 17 questões da PISM

Escolha o nível e treine só este assunto, com correção na hora e o seu progresso salvo. O treino por assunto faz parte do plano da prova.

Treinar Geometria analítica

3 questões de Geometria analítica resolvidas

Questão 1 · PISM 2026 · Módulo III (3º ano) · Questão 16difícil

No plano cartesiano abaixo estão representados segmentos de três retas: r, s e t.

Imagem da questão

As equações das retas r e s estão fornecidas na figura, sendo a equação da reta t da forma y = ax + b. Essas três retas se cruzam num mesmo ponto que está localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Os valores dos coeficientes a e b da reta t devem ser tais que

  1. A

    −1/2 < a < 1 e 2 < b < 8

  2. B

    −1 < a < 1 e 2 < b < 8

  3. C

    2 < a < 8 e −1/2 < b < 1

  4. D

    2 < a < 8 e −1 < b < 1

  5. E

    −1 < a < 1 e 2 < b < 16

Ver gabarito e resolução

Gabarito: A

1. Ponto comum de r e s
r: y = x + 2
s: x + 2y = 16 → x + 2(x + 2) = 16 → 3x = 12 → x = 4, y = 6
Ponto: (4, 6), no primeiro quadrante.

2. Inclinação de t
Na figura, t passa por esse ponto e fica "entre" r e s: sobe menos que r e não desce como s. A inclinação de r é 1 e a de s é −1/2 (y = 8 − x/2). Então:
−1/2 < a < 1

3. Coeficiente linear de t
t passa por (4, 6): 6 = 4a + b → b = 6 − 4a.
Para a = 1 → b = 2; para a = −1/2 → b = 8.
Como b diminui quando a aumenta: 2 < b < 8.

Resposta: A

Por que as outras atraem: B usa −1 como limite (inclinação errada de s); C e D trocam a com b; E usa o 16 da equação de s.

Dica: retas que passam por um ponto fixo formam um feixe; a posição entre duas retas do feixe se traduz num intervalo de inclinações.

Questão 2 · PISM 2025 · Módulo III (3º ano) · Questão 16fácil

Considere, no plano cartesiano, a reta s : x = 1 e a reta r que passa pelo ponto (4, 4), e é paralela à reta y = −2x+4. Sejam A e B os pontos em que as retas r e s intersectam o eixo das abscissas, respectivamente, e C o ponto de interseção de r e s.

A medida da área do triângulo ABC é igual a

  1. A

    25

  2. B

    30

  3. C

    36

  4. D

    50

  5. E

    60

Ver gabarito e resolução

Gabarito: A

1. Reta r
Paralela a y = −2x + 4 → coeficiente angular −2. Passa por (4, 4):
y − 4 = −2(x − 4) → y = −2x + 12

2. Pontos
- A (r no eixo x): 0 = −2x + 12 → x = 6 → A(6, 0)
- B (s: x = 1 no eixo x): B(1, 0)
- C (r ∩ s): x = 1 → y = −2 + 12 = 10 → C(1, 10)

3. Área
O triângulo é retângulo em B: base AB = 6 − 1 = 5 e altura BC = 10.
Área = (5 · 10) ÷ 2 = 25

Resposta: A

Por que as outras atraem: esquecer de dividir por 2 dá 50 (D).

Dica: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular; com uma reta vertical (x = constante), o triângulo costuma ser retângulo.

Questão 3 · PISM 2025 · Módulo III (3º ano) · Questão 20média

Sejam r a reta de equação y = mx + b, A e B os pontos em que essa reta intersecta as retas s1: y = 3x e s2: y = −x/5, respectivamente. O ponto M = (3, 1) é o ponto médio do segmento AB.

As coordenadas do ponto em que a reta r intersecta o eixo das ordenadas é

  1. A

    (0, −2)

  2. B

    (0, 2)

  3. C

    (0, 4)

  4. D

    (0, 5)

  5. E

    (0, 8)

Ver gabarito e resolução

Gabarito: C

1. Pontos genéricos em cada reta

A está em s1: A = (a, 3a). B está em s2: B = (b, −b/5).

2. Ponto médio M = (3, 1)

  • Abscissas: (a + b)/2 = 3 → a + b = 6
  • Ordenadas: (3a − b/5)/2 = 1 → 3a − b/5 = 2 → 15a − b = 10

Somando as duas equações: 16a = 16 → a = 1 e b = 5.

Logo A = (1, 3) e B = (5, −1).

3. Reta r

m = (−1 − 3)/(5 − 1) = −4/4 = −1

y − 3 = −1·(x − 1) → y = −x + 4

Com x = 0, y = 4: a reta corta o eixo y em (0, 4).

Resposta: C

Dica: quando um ponto está numa reta conhecida, escreva-o com uma só incógnita, como (a, 3a); o ponto médio dá as equações que faltam.