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PISM · Matemática

Questões de Equações e inequações da PISM

13 questões oficiais da PISM sobre Equações e inequações, de 2017 a 2025, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 8 médias, 2 difíceis.

Treine Equações e inequações com 13 questões da PISM

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3 questões de Equações e inequações resolvidas

Questão 1 · PISM 2020 · Módulo III (3º ano) · Questão 16fácil

O produto interno bruto (PIB) representa a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região. Países desenvolvidos têm PIB maior. Por exemplo, dez vezes o PIB da Alemanha em 2017 resultou em dezenove vezes o PIB do Brasil no mesmo ano. Ainda em 2017, a diferença entre o PIB dos dois países foi de 1 trilhão e 800 bilhões de dólares.

O valor do PIB do Brasil no ano de 2017, em trilhões de dólares, foi

  1. A

    380

  2. B

    200

  3. C

    38

  4. D

    3,8

  5. E

    2,0

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Gabarito: E

Seja A o PIB da Alemanha e B o do Brasil (em trilhões de dólares).

1. Montar o sistema
10A = 19B → A = 1,9B
A − B = 1,8 (1 trilhão e 800 bilhões)

2. Resolver
1,9B − B = 1,8 → 0,9B = 1,8 → B = 2,0

(Conferindo: A = 3,8; 10 × 3,8 = 38 = 19 × 2.)

Resposta: E (2,0 trilhões de dólares).

Por que as outras atraem: 3,8 (D) é o PIB da Alemanha; 38 e 380 vêm de esquecer de dividir pelo 10.

Dica: traduza cada frase em uma equação e substitua uma na outra.

Questão 2 · PISM 2018 · Módulo I (1º ano) · Questão 12média

Dadas as funções f(x) = x + 3 e g(x) = (13x − 9)/(x + 2), determine o maior subconjunto dos números reais tal que f(x) > g(x).

  1. A

    ]5, +∞[

  2. B

    ]−2, 5[

  3. C

    ]−∞, 3[ ∪ ]5, +∞[

  4. D

    ]−∞, 3[

  5. E

    ]−2, 3[ ∪ ]5, +∞[

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Gabarito: E

Queremos x + 3 > (13x − 9)/(x + 2). Não dá para "passar multiplicando" o x + 2, porque o sinal dele muda. Leve tudo para um lado.

1. Uma fração só

x + 3 − (13x − 9)/(x + 2) > 0

[(x + 3)(x + 2) − (13x − 9)]/(x + 2) > 0

(x² + 5x + 6 − 13x + 9)/(x + 2) > 0 → (x² − 8x + 15)/(x + 2) > 0

2. Fatore e estude o sinal

x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5). Os pontos críticos são −2, 3 e 5.

  • x < −2: (−)(−)/(−) → negativo
  • −2 < x < 3: (−)(−)/(+) → positivo
  • 3 < x < 5: (+)(−)/(+) → negativo
  • x > 5: (+)(+)/(+) → positivo

Os pontos 3 e 5 zeram a expressão (não servem, a desigualdade é estrita) e −2 anula o denominador.

Solução: ]−2, 3[ ∪ ]5, +∞[.

Resposta: E

Por que as outras atraem: a C aparece quando se multiplica tudo por x + 2 como se fosse sempre positivo, esquecendo a restrição x > −2.

Dica: em inequação com x no denominador, nunca multiplique cruzado; junte numa fração e faça o quadro de sinais.

Questão 3 · PISM 2017 · Módulo III (3º ano) · Questão 19média

Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por

g(x) = 3x³ + 2x² + 5x − 4

tem como resultado o polinômio

h(x) = 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ − 17x² + 4x?

  1. A

    x³ + x² + x.

  2. B

    x³ + x² − x.

  3. C

    x³ + 3x² + x.

  4. D

    x³ + 3x² + 2x.

  5. E

    x³ + 3x² − x.

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Gabarito: E

Procura-se q(x) tal que g(x)·q(x) = h(x).

1. Grau e primeiro termo: h tem grau 6 e g tem grau 3, então q tem grau 3, e 3x⁶ ÷ 3x³ = x³.

2. Termo independente: h não tem termo independente (o último termo é 4x), e o de g é −4. Então q também não tem: q(x) = x³ + px² + rx.

3. Coeficiente de x em h: só vem de (−4)·(rx). Então −4r = 4 → r = −1.

4. Coeficiente de x⁵ em h: 3·p + 2·1 = 11 → p = 3.

q(x) = x³ + 3x² − x.

Conferência: (3x³ + 2x² + 5x − 4)(x³ + 3x² − x) = 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ − 17x² + 4x, que é h(x).

Resposta: E (x³ + 3x² − x).