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PISM · Matemática

Questões de Análise combinatória da PISM

9 questões oficiais da PISM sobre Análise combinatória, de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 4 fáceis, 4 médias, 1 difícil.

Treine Análise combinatória com 9 questões da PISM

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5 questões de Análise combinatória resolvidas

Questão 1 · PISM 2026 · Módulo III (3º ano) · Questão 19média

Uma pessoa elaborou uma playlist com 12 músicas diferentes, das quais 2 são do gênero sertanejo, 4 são clássicas e 6 são do gênero rock. Ela programará essa playlist para tocar três blocos de música, sendo que, em cada bloco, serão tocadas todas as músicas de um mesmo gênero musical em ordem aleatória, podendo os três blocos dos diferentes gêneros musicais serem, entre si, reproduzidos em qualquer ordem.

Com essa programação feita, de quantas maneiras diferentes essa playlist poderá ser reproduzida?

  1. A

    12!

  2. B

    3! × 2! × 4! × 6!

  3. C

    3! + 2! + 4! + 6!

  4. D

    3 × 2! × 4! × 6!

  5. E

    12 × 2! × 4! × 6!

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Gabarito: B

1. Ordem dos blocos
São 3 blocos (sertanejo, clássico, rock) em qualquer ordem: 3! maneiras.

2. Ordem dentro de cada bloco
Sertanejo: 2! · Clássico: 4! · Rock: 6!

3. Princípio multiplicativo
Total = 3! × 2! × 4! × 6!

Resposta: B

Por que as outras atraem: A (12!) ignora que as músicas de um gênero ficam juntas; C soma em vez de multiplicar; D usa 3 em vez de 3!.

Dica: "elementos juntos em blocos" = permute os blocos e depois permute dentro de cada bloco.

Questão 2 · PISM 2024 · Módulo III (3º ano) · Questão 20média

Maria possui um estojo contendo 8 peças de bijuterias, sendo 2 em forma de quadrado, 2 em forma de triângulo, 2 em forma de disco e 2 em forma de estrela. Peças de mesma forma são idênticas.

De quantas maneiras distintas Maria pode escolher 6 dessas peças de modo que tenha pelo menos uma de cada forma?

  1. A

    6

  2. B

    10

  3. C

    12

  4. D

    24

  5. E

    30

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Gabarito: A

Peças da mesma forma são idênticas, então uma escolha é definida só por quantas peças de cada forma Maria pega.

Cada forma tem 2 peças e é preciso ao menos uma de cada: cada forma entra com 1 ou 2 peças.

1. Quantas formas entram com 2 peças?
Com 4 formas, o mínimo é 4 peças (uma de cada). Para chegar a 6, faltam 2 peças, e cada forma só aceita mais uma. Logo, exatamente 2 formas entram com 2 peças e as outras 2 com 1.

2. Contagem:
Basta escolher quais 2 das 4 formas terão 2 peças:
C(4, 2) = (4 × 3) ÷ 2 = 6

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem trata as 8 peças como distintas encontra números bem maiores (como 24 ou 30), mas peças de mesma forma são iguais.

Dica: com objetos idênticos, conte as "quantidades por tipo", não as peças.

Questão 3 · PISM 2023 · Módulo III (3º ano) · Questão 17fácil

Um ônibus com 40 assentos numerados de 01 a 40 foi alugado para uma excursão que fará uma viagem com 25 turistas.

  1. A

    40!/15!

  2. B

    25!/15!

  3. C

    40

  4. D

    15!

  5. E

    40! − 15!

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Gabarito: A

Os 25 turistas são pessoas distintas e os 40 assentos são numerados, então importa quem senta em qual lugar: é um arranjo de 40 assentos tomados 25 a 25.

O 1º turista tem 40 opções, o 2º tem 39, o 3º tem 38, ..., o 25º tem 40 − 24 = 16 opções.

Total = 40 × 39 × ... × 16 = 40!/15!

(Multiplicar e dividir por 15! = 15 × 14 × ... × 1 deixa a conta na forma de fatoriais: A(40,25) = 40!/(40 − 25)!.)

Resposta: A

Por que as outras atraem: B (25!/15!) confunde o número de turistas com o de assentos. D (15!) conta só os lugares que sobram vazios. E (40! − 15!) troca a divisão por subtração.

Dica: pessoas distintas em lugares distintos → arranjo, n!/(n − p)!.

Questão 4 · PISM 2019 · Módulo III (3º ano) · Questão 20média

Em três sofás de dois lugares cada, dispostos em uma fila, deverão se assentar 3 rapazes e 3 moças.

Uma expressão que permite calcular a quantidade de maneiras que essas pessoas podem se sentar nesses sofás, de modo que em cada sofá fiquem assentados um rapaz e uma moça, é

  1. A

    6 × 4 × 2 × 3!

  2. B

    2! × 2! × 2!

  3. C

    3 × 2!

  4. D

    6!

  5. E

    6!/3

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Gabarito: A

Conte os lugares sofá por sofá, escolhendo primeiro um assento e depois o outro.

1. Primeiro sofá: o 1º lugar pode ser ocupado por qualquer uma das 6 pessoas; o 2º precisa ser de sexo oposto: 3 opções.

2. Segundo sofá: sobram 2 rapazes e 2 moças. O 1º lugar: 4 opções; o 2º: 2 (sexo oposto).

3. Terceiro sofá: sobram 1 rapaz e 1 moça: 2 maneiras de sentá-los.

Total: 6 × 3 × 4 × 2 × 2 × 1 = 288.

Agora veja a alternativa A: 6 × 4 × 2 × 3! = 48 × 6 = 288 ✓ (os fatores 3 × 2 × 1 = 3! foram agrupados).

Outra forma: rapazes nos sofás (3!) × moças nos sofás (3!) × ordem dentro de cada sofá (2 × 2 × 2) = 6 × 6 × 8 = 288.

Resposta: A

Por que as outras atraem: 6! = 720 ignora a regra de um rapaz e uma moça por sofá; 2! × 2! × 2! = 8 só conta a ordem dentro dos sofás.

Dica: quando a resposta é uma expressão, calcule o valor dela e compare com a sua contagem.

Questão 5 · PISM 2017 · Módulo III (3º ano) · Questão 17fácil

Para concorrer a eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 8 candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola?

  1. A

    15

  2. B

    27

  3. C

    34

  4. D

    56

  5. E

    65

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Gabarito: D

A ordem importa: ser o mais votado (diretor) é diferente de ser o segundo (vice). É um arranjo de 8 candidatos tomados 2 a 2.

  • Diretor: 8 possibilidades.
  • Vice: sobram 7.

Total = 8 × 7 = 56.

Resposta: D

Por que as outras atraem: 15 = 8 + 7 soma em vez de multiplicar; quem usa combinação (8 × 7 ÷ 2 = 28) esquece que trocar diretor e vice gera outra possibilidade.

Dica: se trocar a ordem dos escolhidos muda o resultado, é arranjo; se não muda, é combinação.