Questões de Gravitação, órbitas e leis de Kepler da ONC

A imagem a seguir, feita com o Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA), mostra a supergigante vermelha Betelgeuse (Alpha Orionis) — uma das maiores estrelas conhecidas. Observada no comprimento de onda entre micro-ondas e as ondas de rádio, a estrela é cerca de 1.400 vezes maior que o nosso Sol. As órbitas (círculos em branco) de 6 planetas estão sobrepostas, em escala, à imagem e podemos ver o quão grande a estrela é em comparação com o Sistema Solar. Colocada no lugar do Sol, Betelgeuse englobaria todos os quatro planetas terrestres — Mercúrio, Vênus, Terra e Marte — e até mesmo o gigante gasoso Júpiter. Apenas Saturno estaria além de sua superfície.

Fonte: ALMA (ESO/NAOJ/NRAO)/E. O'Gorman/P. Kervella (adaptado).

A Terceira Lei de Kepler generalizada relaciona o cubo do semieixo maior a da órbita de um planeta com seu período orbital P em torno de uma estrela de massa M:

P² = (4π²/GM) a³, onde G é a Constante Gravitacional Universal

Agrupando todas as constantes em uma só, temos:

P² = K a³

Se P estiver em anos terrestres, a estiver em unidades astronômicas (UA) e M for escrito em unidades de massas solares, então nestas “unidades” G = 4π² e então K = 1 e temos simplesmente:

P² = a³

Suponha que um planeta orbita Betelgeuse a 14 UA de distância. Sabendo que Betelgeuse tem uma massa 14 vezes a massa do Sol, assinale a opção que traz o período orbital desse planeta.

Dados: G = 6,67 × 10^-11 m³kg^-1s^-2; M_Sol = 2,0 × 10³⁰ kg; UA = 1,5 × 10¹¹ m

Na figura a seguir, temos o esquema, fora de escala, das órbitas elípticas de um sistema estelar duplo, ou seja, onde duas estrelas estão ligadas gravitacionalmente e ambas orbitam o baricentro ou centro de massa (c.m.) do sistema, identificado pelo sinal de + na figura.

Fonte: www.quora.com (adaptado)

Baseado nesta figura e em seus conhecimentos, avalie as afirmações a seguir e assinale a opção correta.

I – O centro de massa do sistema está no foco comum às duas órbitas.

II – A estrela A tem mais massa que a estrela B.

III – Quando a estrela A estiver na posição 1, a estrela B estará na posição 2.

IV - Quando a estrela A estiver na posição 1, a estrela B estará na posição 3.

Está correto o que se afirma em

Na figura a seguir, temos o esquema, fora de escala, das órbitas elípticas de um sistema estelar duplo, ou seja, onde duas estrelas estão ligadas gravitacionalmente e ambas orbitam o baricentro ou centro de massa (c.m.) do sistema, identificado pelo sinal de + na figura.

Fonte: www.quora.com (adaptado).

Baseado nesta figura e em seus conhecimentos, assinale a opção correta.

Os planetas não orbitam precisamente o Sol, mas podemos afirmar de maneira correta que os planetas e o Sol orbitam em torno do centro de massa do Sistema Solar ou baricentro comum.

A figura da esquerda representa o esquema da configuração dos planetas do Sistema Solar em um determinado período. As órbitas e os planetas foram colocados fora de escala para melhor visualização das suas posições relativas. A figura da direita representa a variação do centro de massa do Sistema Solar (ou baricentro, marcado com os círculos vermelhos) em relação ao Sol, entre 2000 e 2050.

Fontes: theplanetstoday.com (adaptada) e Wikimedia Commons (adaptada).

Vemos que, apesar do Sol representar 99,8% da massa do Sistema Solar, o baricentro do sistema está muito próximo do Sol, mas nem sempre está dentro do Sol. A posição relativa dos gigantes gasosos influencia esta posição. Se considerarmos o Sol como a origem do gráfico à direita, o baricentro viaja em uma trajetória complexa e não linear.

Baseado na posição do baricentro do Sistema Solar, assinale a opção que identifica o período em que a configuração planetária, representada pela figura da esquerda, aconteceu ou acontecerá.

A Segunda Lei de Kepler, chamada lei das áreas, estabelece o seguinte: num referencial fixo no Sol, a reta (raio vetor) que une o Sol a um astro varre áreas iguais em tempos iguais.

Na imagem a seguir, fora de escala, temos um cometa, em dois momentos, orbitando o Sol em uma órbita elíptica bem excêntrica (elipse bem achatada).

Imagem: Equipe ONC.

Se o raio vetor do cometa levou t = 3 anos 1 mês e 6 dias para "varrer" uma área A, igual a 1/21 da área total (A_total) da sua órbita (A = A_total/21), então podemos afirmar que o período orbital P deste cometa, em anos, vale:

O dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), pode ser considerado o último grande astrônomo observacional, de uma época em que não se utilizava telescópios na astronomia. Tycho fez extensivas observações das posições de planetas e estrelas, com grande precisão, usando instrumentos fabricados por ele mesmo. Em 1600 (um ano antes de sua morte), Tycho contratou para ajudá-lo na análise dos dados sobre os planetas, um jovem e hábil matemático alemão chamado Johannes Kepler (1571-1630). Foi graças à excelente qualidade das observações de Tycho, colhidas durante 20 anos, que Kepler conseguiu deduzir suas famosas leis do movimento planetário. O cálculo de quanto tempo leva um planeta para orbitar o Sol está relacionado com qual das Lei de Kepler?