OBA 2019 · Nível 4 (ensino médio): prova com gabarito

(1 ponto) A luminosidade de uma estrela é uma característica própria dela e depende apenas do seu raio e da sua temperatura superficial. Já o seu brilho depende da distância dela até nós. Podemos comparar a luminosidade de uma estrela à potência de uma lâmpada comum. Uma lâmpada de 60 watts acesa, por exemplo, terá sempre 60 watts a qualquer distância que esteja de nós. No entanto ela será mais brilhante quanto mais perto estiver de nós.

A luminosidade L de uma estrela é proporcional ao seu raio, R, elevado ao quadrado e à sua temperatura, T, superficial elevada à quarta potência.

Se adotarmos as unidades solares, ou seja, se medirmos L em unidades de luminosidade solar (L_Sol), R em unidades de raio solar (R_Sol) e T em unidades de temperatura solar (6000 K) podemos escrever uma equação para calcular o raio de uma estrela em comparação com o raio do Sol:

Vamos dar um exemplo: Spica, da Constelação da Virgem, é 12.100 vezes mais luminosa do que o Sol (L = 12.100 L_Sol) e possui temperatura superficial de 22.200 K (T = 22.200/6000 = 3,7 T_Sol). Logo, seu raio será:

a) (0,5 ponto) Agora que você já sabe calcular o raio de uma estrela, calcule o raio de uma estrela com 10.000 vezes a luminosidade do Sol e temperatura superficial de 12.000 K.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

b) (0,5 ponto) Calcule o raio de uma estrela com 0,04 vezes a luminosidade do Sol e temperatura superficial de 24.000 K.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

(1 ponto) As leis de Kepler são as três leis do movimento planetário definidas por Johannes Kepler (1571 – 1630), um matemático e astrónomo alemão. Kepler estudou as observações colhidas por mais de 20 anos pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 — 1601) e descobriu, por volta de 1605, que os planetas seguiam três leis matemáticas:

• A primeira Lei (das órbitas) diz que a órbita de cada planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos.

• A segunda Lei (das áreas) afirma que a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

• A terceira Lei (harmônica) relaciona o quadrado do período orbital dos planetas diretamente com o cubo de sua distância média ao Sol.

A figura mostra a órbita da Terra (fora de escala e bem mais achatada) e as posições da Terra ao longo do ano.

(0,2 ponto cada acerto) Escreva C (certo) ou E (errado) na frente de cada afirmação.

( ) Entre março e abril a velocidade orbital da Terra é maior do que entre maio e junho.

( ) Em fevereiro a velocidade orbital da Terra está aumentando.

( ) A força da gravidade do Sol é a mesma em todos os pontos da órbita da Terra.

( ) Pela 3ª Lei de Kepler podemos afirmar que em julho a velocidade orbital da Terra é a menor.

( ) Pela 2ª Lei de Kepler podemos afirmar que em janeiro a velocidade orbital da Terra é a maior.

(1 ponto) A Apollo 11 pousou no Mar da Tranquilidade em 20 de julho de 1969, transformando Neil A. Armstrong no primeiro homem a pisar na Lua.

A imagem ao lado traz o nome de alguns “mares” e crateras famosas, e o local dos pousos das missões Apollo, de 11 a 17.

Os engenheiros e cientistas da NASA estabeleceram que o pouso da Apollo 11 deveria acontecer pouco depois de o Sol ter nascido no local escolhido: o Mar da Tranquilidade.

a) (0,5 ponto) Baseado no que você acabou de ler, faça um “X” debaixo da imagem que representa a fase da Lua no dia do pouso da Apollo 11. O local do pouso está marcado em todas as imagens com um círculo branco.

b) (0,5 ponto) A necessidade de que o Sol estivesse em um ângulo específico no dia do pouso da Apollo 11 era restritiva, limitando a data de lançamento da Missão. Se ela não ocorresse na data prevista, a NASA deveria esperar pela próxima oportunidade para lançar a Missão.
Sendo assim, assinale a afirmativa correta. A NASA poderia lançar a Missão Apollo 11:

( ) Em qualquer dia do mês, mas sempre ao meio-dia.

( ) Em apenas um dia a cada semana.

( ) Em apenas um ou dois dias a cada mês.

( ) Em apenas uma semana por ano.

( ) Sempre que a Lua estivesse no perigeu.

(1 ponto) Em virtude de sua alta temperatura, na ordem de 2 milhões de graus Celsius, a parte mais externa da atmosfera do Sol, chamada de Coroa Solar, é responsável pela emissão de um fluxo constante de partículas muito energéticas para todo o espaço, conhecido por Vento Solar. Essas partículas são, em sua maioria, elétrons, prótons e partículas alfa. O Vento Solar faz com que o Sol perca massa a uma taxa de cerca de 2 milhões de toneladas/segundo (1 t = 1000 kg).

Por conta do Vento Solar, quantos anos demora o Sol para perder a massa equivalente à massa da Terra?
Dados: massa da Terra ~ 6×10²⁴ kg e 1 ano ≈ 3×10⁷ segundos

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

(1 ponto) O dia 29 de maio de 1919 entrou para a história como o dia em que a Teoria da Relatividade Geral de Albert Einstein, anunciada em 1905, foi confirmada, na cidade de Sobral, CE. A Teoria da Relatividade afirma que a massa dos corpos deforma o espaço próximo a eles, de modo que um raio luminoso é desviado pela deformação. Esta "curvatura da luz" só poderia ser observada através de um eclipse total do Sol, ou seja, quando a Lua fica entre o Sol e a Terra, projetando sua sombra em parte do planeta. Com o eclipse, a luz ofuscante do Sol desaparece e se pode ver o brilho das estrelas próximas.

Os astrônomos sabiam que no dia 29 de maio de 1919 haveria um eclipse total do Sol e que a umbra da Lua passaria pela cidade de Sobral. Foram pra lá cientistas norte-americanos, brasileiros e ingleses, do Observatório Real de Greenwich.

O método de observação era simples. No momento em que a Lua cobriu o Sol, várias chapas fotográficas, de câmeras acopladas aos telescópios, foram tiradas em sucessão, para registrar a posição das estrelas que estivessem próximas à borda do Sol. Depois, estas fotos foram comparadas a chapas parecidas, tiradas três meses depois, durante a noite. A conclusão foi a de que Einstein estava certo. A luz faz realmente uma curvatura.

A imagem traz o esquema deste eclipse. A faixa estreita escura representa o caminho que a umbra (parte mais escura da sombra) fez na superfície da Terra e de onde o eclipse solar total pôde ser visto. Fora desta faixa, o eclipse foi parcial, com a Lua cobrindo progressivamente menos o Sol.

As faixas onde a Lua cobriu entre 100% a 80% do Sol, entre 80% a 60% do Sol etc, são mostradas na figura. Fora do quadriculado, a Lua não passou na frente do Sol em momento algum

a) (0,5 ponto) (0,25 ponto cada acerto) No mapa, pinte de qualquer cor as 2 regiões da Terra onde o eclipse solar de maio de 1919 foi parcial e a Lua cobriu entre 40% e 20% do Sol.

b) (0,5 ponto) A umbra da Lua na Terra é um disco com 270 km de diâmetro e percorre a superfície da Terra a 2.160 km/h.
Com estes dados, calcule a duração, em minutos, de um eclipse solar total num ponto bem central por onde a umbra passa.

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(1 ponto) A figura mostra uma parte do céu, tal como é visto do Rio de Janeiro, RJ, no dia 17/05/19 à 1h00min. As “bolinhas” pretas são estrelas e quanto maior a “bolinha”, mais brilhante é a estrela. As linhas delimitam áreas no céu, que chamamos de constelações. Tudo que está na direção daquela área pertence àquela constelação, cujos nomes você pode ler dentro das áreas. A grande circunferência, centrada no Polo Sul Celeste (PSC), delimita a região circumpolar do céu. A faixa cinza, na parte de baixo da figura, representa o horizonte, onde vemos marcada a posição do Ponto Cardeal Sul (S).

a) (0,5 ponto) (0,1 cada acerto) Escreva C (certo) ou E (errado) na frente de cada afirmação.

( ) Todas as estrelas da Constelação do Camaleão estão sempre acima do horizonte.

( ) Todas as estrelas da Constelação de Dourado estão sempre acima do horizonte.

( ) Em poucas horas a Constelação do Cruzeiro do Sul estará completamente abaixo do horizonte.

( ) Nem todas as estrelas da Constelação da Mosca são circumpolares.

( ) O céu todo nos parece girar em torno de um ponto dentro da Constelação do Oitante.

b) (0,5 ponto) (0,25 cada acerto) Indique com a letra grega α (alfa) e uma seta (α →) a estrela mais brilhante da Constelação do Triângulo Austral, que também é circumpolar e indique com a letra grega β (beta) e uma seta (β →) a segunda estrela mais brilhante da mesma constelação e que não é circumpolar.

(1 ponto) Sabemos que os astrônomos podem usar medidas de radar, paralaxe e até as Leis de Kepler para determinar a distância dos objetos do Sistema Solar. Sabendo a distância, podemos converter o tamanho angular de um corpo no seu tamanho físico usando apenas a geometria. A figura a seguir traz um observador fazendo uma medida angular do diâmetro de um objeto cuja distância é conhecida. No desenho, uma grande circunferência foi centrada no observador passando pelo objeto.

Pela geometria, a razão entre o seu diâmetro real e o comprimento total da circunferência (2π × distância ao objeto) deve ser igual à razão entre o diâmetro angular observado e o giro completo de 360º:

a) (0,5 ponto) Medidas feita com radares mostram que a Lua está a uma distância de aproximadamente 384.000 km. O diâmetro angular medido da Lua vale aproximadamente 0,5º. Calcule o diâmetro físico da Lua através da equação acima. Para facilitar a conta use π ≈ 3.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

b) (0,5 ponto) Através desta mesma equação, calcule o diâmetro angular da Terra vista da Lua pelos astronautas da Apollo 11. Para facilitar a conta use π ≈ 3.
Dado: diâmetro da Terra ~12.800 km.

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(1 ponto) A empresa Visiona Tecnologia Espacial S/A, de São José dos Campos, SP, está desenvolvendo o nanosatélite VCUB1. Nanosatélites são artefatos espaciais com massa entre 1 a 10 kg, com capacidade de oferecer serviços que, até o final do século passado, somente grandes satélites eram capazes de prover. O VCUB1 é baseado no padrão CubeSat, onde cada unidade é formada por cubos com 10 cm de aresta. O VCUB1 é formado por 6 desses cubos, possui 10 kg de massa e operará em uma órbita polar de 500 km (h) de altitude.

a) (0,5 ponto) O VCUB1 é equipado com uma câmera óptica de 3,5 m de resolução, representada por d na figura. Isso significa que um pixel do detector da câmera, quando projetado no solo, corresponde a uma imagem quadrada de 3,5 m de lado. Uma vez que cada pixel p da câmera do VCUB1 corresponde a um quadrado com 5 μm de lado (1 μm = 10^-6 m) e considerando-se que h, d e p são conhecidos, calcule o valor da distância focal, f, da câmera do satélite. O seu resultado deve ser apresentado em milímetros (mm). Dica: Use semelhança de triângulos.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

b) (0,5 ponto) De modo simplificado, a distância focal da câmera, f´, representa o caminho que os raios de luz percorrem entre o espelho primário e o detector da câmera. Contudo, conforme mostrado na Figura, a maior dimensão do VCUB1 é 300 mm, que é inferior ao valor de f obtido na questão anterior. Para resolver este problema, alguém se lembrou do telescópio refletor que Isaac Newton apresentou à Sociedade Real Inglesa em 1671. Newton fez uso de um conjunto de espelhos internos que, ao refletirem sucessivamente os raios de luz captados, fazem f´ se tornar maior do que a dimensão do tubo do telescópio.
Na Figura a linha cheia representa o raio de luz que foi capturado pelo espelho primário da câmera, enquanto as linhas pontilhadas representam este mesmo raio sucessivamente refletido pelos demais espelhos internos à câmera do satélite.
Na Figura: f´= d₁ + d₂ + d₃ + . . . + d_n.

Baseado na Figura e nesta equação, determine qual o número mínimo de espelhos necessários para que o satélite possa atingir a resolução esperada de 3,5 m, isto é, para que f´ ≥ f.
Dica: a distância entre os espelhos é dada por d₁ = d₂ = d₃ = d_n = 240 mm.

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(1 ponto) Era quase meia noite, horário de Brasília, do dia 20 de julho de 1969 quando o astronauta norte-americano Neil Armstrong pisou na superfície da Lua. Em 2019 comemoramos 50 anos desse evento, que nos lembra o quão longe podemos ir com criatividade, engenhosidade, determinação e trabalho. Os 384.000 km que separam a Terra da Lua foram vencidos por meio das seguintes etapas: 1. Lançamento do Saturno V; 2. Órbita da Terra; 3. Período de injeção na trajetória translunar; 4. Órbita da Lua; e 5. Pouso lunar, mostrados esquematicamente na figura.

a) (0,5 ponto) O 1º estágio do Saturno V é composto de 5 motores F-1. Cada um desses motores produz o empuxo E (força) de 6.900.000 N. Considerando que a massa m inicial do Saturno V é de 3.000.000 kg e g ≈ 10 m/s², calcule a aceleração inicial do Saturno V, em m/s².
Dica: Utilize a segunda Lei de Newton e considere que apenas as forças de empuxo e peso atuam sobre o foguete, que voa sempre na vertical.

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b) (0,5 ponto) O valor da aceleração que você obteve acima só é válido para o primeiro instante de voo porque, a partir da ignição dos 5 motores F-1 que equipam o 1º estágio do Saturno V, sua massa é reduzida à taxa de 15.000 kg/s, em função do consumo de propelente. Sabendo que os 5 motores F-1 funcionam por 160 segundos, qual será a aceleração do Saturno V quando tiverem transcorridos 100 segundos de voo?
Em seus cálculos considere que g ≈ 10 m/s² e o Empuxo dos motores não varia com a altitude.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

(1 ponto) Esta questão está relacionada à questão anterior, razão pela qual você deve usar a figura da questão 9 para auxiliar sua compreensão deste texto.

A etapa 2 é conhecida como órbita de espera, situada a 200 km de distância da superfície da Terra. Durante as mais de duas horas que permanecem nessa órbita, os astronautas e também as equipes em Terra checam todos os sistemas do foguete. Se estiver tudo OK, o motor do 3º estágio do Saturno V é acionado pela segunda vez, por cerca de 6 minutos, injetando a espaçonave na trajetória translunar, ou seja, em direção a um ponto do espaço onde a Lua estará 80 horas depois. Alguns minutos depois, o motor do 3º estágio é descartado, tornando-se lixo espacial.

a) (0,5 ponto) A força da gravidade é dada por F = m M_TG / r², onde r é a distância da espaçonave ao centro da Terra, m é a massa do que sobrou do Saturno V, M_T é a massa da Terra e G é a constante gravitacional. Enquanto em órbita circular de espera, o que sobrou do Saturno V estará sujeito a uma aceleração radial (ou centrípeta) dada por a = (V_orbital)² / r. Utilizando a 2ª Lei de Newton, calcule a velocidade orbital, em km/s, do que sobrou do Saturno V na órbita de espera. Desconsidere quaisquer outras forças além da gravitacional.

Para simplificar, considere M_TG = 416.000 km³/s², o raio da Terra R_T = 6.300 km e que a força e aceleração tenham a mesma direção. Fique atento às unidades!

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.

b) (0,5 ponto) Uma estimativa para determinar o incremento de velocidade, ΔV = V_escape − V_orbital, necessário à injeção na trajetória translunar pode ser feita considerando-o como sendo a velocidade de escape do campo gravitacional terrestre, calculada na altitude da órbita de espera, menos a velocidade orbital do foguete nesse mesmo local. A velocidade de escape é a velocidade que um corpo precisa atingir para deixar o campo gravitacional terrestre e chegar ao infinito com velocidade nula. Isso equivale à velocidade inicial que faz com que a soma entre energia potencial gravitacional e energia cinética seja nula.

Calcule o ΔV necessário para que, a partir da órbita de espera, a velocidade de escape seja atingida.
As energias cinéticas e potencial são dadas por: E_cinética = m (V_escape)² / 2 e E_potencial = − m M_TG / r
Em seus cálculos considere √2 = 1,4.

Atenção: Registre abaixo suas contas, pois sem elas os resultados não têm valor.