Famerp · Matemática

Questões de Sequências e progressões (PA e PG) da Famerp

7 questões oficiais da Famerp sobre Sequências e progressões (PA e PG), de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 1 fácil, 5 médias, 1 difícil.

Treine Sequências e progressões (PA e PG) com 7 questões da Famerp

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5 questões de Sequências e progressões (PA e PG) resolvidas

Questão 1 · Famerp 2026 · Questão 71média

A progressão aritmética (a₁, a₂, ..., a₃₅), em que a₁ = 8 e a₂ = 29/4, tem 35 termos. O número de termos negativos nessa progressão aritmética é

A
25.
B
27.
C
26.
D
28.
E
24.

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Gabarito: E

1. Razão

r = a₂ – a₁ = 29/4 – 8 = 29/4 – 32/4 = –3/4

2. Quando os termos ficam negativos

a_n = 8 + (n – 1)(–3/4) < 0

(n – 1) × 3/4 > 8 → n – 1 > 32/3 ≈ 10,67 → n ≥ 12

Conferindo: a₁₁ = 8 – 10 × 3/4 = 0,5 (positivo); a₁₂ = 8 – 11 × 3/4 = –0,25 (negativo).

3. Contagem

Do 12º ao 35º termo: 35 – 12 + 1 = 24 termos negativos.

Resposta: E

Por que as outras atraem: A (25) aparece ao fazer 35 – 11 + 1, contando também o a₁₁, que ainda é positivo.

Dica: para contar termos de m a n, use n – m + 1.

Questão 2 · Famerp 2020 · Questão 71média

Observe o padrão da sequência de figuras.

Mantido o padrão, a figura que terá a quantidade de bolas brancas superando a de bolas verdes em 286 será a de número

A
13.
B
18.
C
14.
D
16.
E
21.

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Gabarito: B

1. Padrão das figuras

Na figura n há uma fileira verde de n + 1 bolas em cima e outra embaixo: 2(n + 1) bolas verdes. No meio, as brancas formam um quadrado n × n: n² bolas brancas.

Confere: figura 1 → 4 verdes e 1 branca; figura 3 → 8 verdes e 9 brancas.

2. Equação

n² − 2(n + 1) = 286 → n² − 2n − 288 = 0

Δ = 4 + 1 152 = 1 156 = 34² → n = (2 + 34) ÷ 2 = 18

Verificação: 18² = 324 brancas e 2 × 19 = 38 verdes; 324 − 38 = 286.

Resposta: B

Dica: em sequências de figuras, conte separadamente cada tipo de peça e escreva a quantidade em função do número da figura.

Questão 3 · Famerp 2020 · Questão 77média

José deseja fazer uma poupança mensal durante 10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em relação ao valor poupado no mês anterior. Adotando 1,005¹²⁰ = 1,819 em seu cálculo final, se José começar sua poupança depositando R$ 100,00 no primeiro mês, ao final do último mês de depósito ele terá depositado um total de

A
R$ 69.600,00.
B
R$ 6.645,00.
C
R$ 32.760,00.
D
R$ 16.380,00.
E
R$ 6.500,00.

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Gabarito: D

Os depósitos formam uma PG de razão q = 1,005 (cada mês, 0,5% a mais), com a₁ = 100 e 10 anos = 120 termos.

Soma da PG

S = a₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1) = 100 · (1,005¹²⁰ − 1) ÷ 0,005

S = 100 · 0,819 ÷ 0,005 = 100 · 163,8 = R$ 16.380,00

Resposta: D

Por que as outras atraem: tratar o acréscimo como fixo (PA de R$ 0,50 por mês) leva a valores próximos de R$ 15.570; usar 10 termos (anos) em vez de 120 (meses) dá um total muito menor.

Dica: "a mais em relação ao anterior", em porcentagem, é PG; em valor fixo, é PA.

Questão 4 · Famerp 2017 · Questão 8média

A figura mostra, em perspectiva, as quatro primeiras pilhas de blocos de uma sequência.

Mantida a mesma lógica de empilhamento dos blocos, a 6a pilha da sequência terá um total de blocos igual a

A
149.
B
141.
C
146.
D
151.
E
144.

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Gabarito: C

Olhe as diferenças entre as pilhas:

1 → 6 → 19 → 44: diferenças 5, 13, 25.

Cada nova pilha acrescenta uma "camada" de n² + (n − 1)² blocos:
- 2ª: 4 + 1 = 5
- 3ª: 9 + 4 = 13
- 4ª: 16 + 9 = 25

(As diferenças das diferenças são 8 e 12, e crescem de 4 em 4.)

Continuando:
- 5ª: 44 + (25 + 16) = 44 + 41 = 85
- 6ª: 85 + (36 + 25) = 85 + 61 = 146

Resposta: C

Por que as outras atraem: 141 e 144 aparecem quando se supõe que as diferenças crescem sempre do mesmo jeito que de 5 para 13 (+8), sem notar que esse acréscimo também aumenta.

Dica: em sequências de figuras, calcule as diferenças sucessivas; se as segundas diferenças variam de forma regular, a lei é polinomial.

Questão 5 · Famerp 2017 · Questão 10fácil

Em 1996, 25% da energia produzida por um país era obtida de usinas hidrelétricas. Em 2016, essa produção passou a ser de 40%. Admitindo-se que de 25%, em 1996, para 40%, em 2016, o crescimento anual da porcentagem foi geométrico, é correto afirmar que o fator constante de crescimento anual foi igual a

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Gabarito: E

Crescimento geométrico: a cada ano a porcentagem é multiplicada por um fator q. De 1996 a 2016 são 20 anos:

25 · q²⁰ = 40

q²⁰ = 40/25 = 1,6

q = raiz vigésima de 1,6

Resposta: E

Por que as outras atraem: A usa 6,25 = 25/4 (dividiu ao contrário ou trocou dados); as alternativas com log confundem o fator com o número de anos (o expoente).

Dica: em crescimento geométrico, valor final = valor inicial · qⁿ, com n = número de períodos (aqui, 20 anos).