Famerp · Matemática

Questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) da Famerp

9 questões oficiais da Famerp sobre Geometria espacial (volumes e sólidos), de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 1 fácil, 4 médias, 4 difíceis.

Treine Geometria espacial (volumes e sólidos) com 9 questões da Famerp

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6 questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) resolvidas

Questão 1 · Famerp 2026 · Questão 79fácil

Um paralelepípedo retorretângulo tem base quadrada de lado medindo 4 cm, conforme mostra a figura.

fora de escala

Se a área total desse paralelepípedo é 112 cm², seu volume é

A
74 cm³.
B
72 cm³.
C
80 cm³.
D
76 cm³.
E
78 cm³.

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Gabarito: C

Base quadrada 4 × 4 e altura h.

1. Área total

2 bases + 4 faces laterais = 2 × 16 + 4 × (4h) = 32 + 16h

32 + 16h = 112 → 16h = 80 → h = 5 cm

2. Volume

V = 4 × 4 × 5 = 80 cm³

Resposta: C

Dica: área total do prisma = 2 × área da base + área lateral.

Questão 2 · Famerp 2025 · Questão 77média

A área total de um cilindro circular reto é numericamente igual ao seu volume. Se as medidas do raio da base e da altura desse cilindro são, em uma mesma unidade de medida, r e h, respectivamente, então r é igual a:

A
h/(h – 1)
B
2h/(2 – h)
C
h/(1 – h)
D
2h/(h – 2)
E
h²/(h – 2)

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Gabarito: D

Área total = Volume:

2πr² + 2πrh = πr²h

Dividindo por πr (r > 0):

2r + 2h = rh → rh − 2r = 2h → r(h − 2) = 2h

r = 2h / (h − 2) (exige h > 2).

Resposta: D

Por que as outras atraem: a B troca o sinal do denominador, o que daria r negativo para h > 2.

Dica: quando a incógnita aparece em vários termos, isole-a colocando-a em evidência.

Questão 3 · Famerp 2024 · Questão 77difícil

Um paralelepípedo será dividido em dois prismas, conforme mostra a figura.

Na figura, o paralelepípedo mede 20 cm × 9 cm × 5 cm; o corte começa a 7 cm da face da frente, de um lado, e termina a 4 cm dela, do outro.

Após separados, a soma das áreas totais dos dois prismas irá superar a área total do prisma original em

A
150 cm².
B
160 cm².
C
110 cm².
D
180 cm².
E
120 cm².

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Gabarito: E

Ao cortar o bloco, a área total aumenta exatamente pelas duas faces novas criadas pelo corte (uma em cada prisma), e cada uma tem a área da superfície de corte.

1. Forma do corte: o corte é vertical (atravessa os 5 cm de altura). Visto de cima, é uma linha em "escada", com segmentos paralelos às arestas, que começa a 7 cm da face da frente, no lado esquerdo, e termina a 4 cm dela, no lado direito.

2. Comprimento da linha do corte:
- segmentos na direção da largura: somam 9 cm (atravessam toda a largura);
- segmentos na direção do comprimento: somam 7 – 4 = 3 cm (a escada "desce" de 7 para 4).
Total: 9 + 3 = 12 cm.

3. Área nova: cada face de corte tem 12 × 5 = 60 cm²; são duas faces → 120 cm².

Resposta: E

Dica: cortar um sólido acrescenta à área total o dobro da área da seção de corte; o volume não muda.

Questão 4 · Famerp 2020 · Questão 72média

Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 dm, foram unidos com sobreposição perfeita de duas das suas faces. P é vértice de um dos cubos, Q é vértice do outro cubo e R é vértice compartilhado por ambos os cubos, conforme indica a figura.

A área do triângulo de vértices P, Q e R é igual a

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Gabarito: A

Coloque a aresta como 1 dm. Na figura, P é o vértice de cima, na frente e à esquerda; R está no alto da face comum, na aresta de trás; Q é o vértice de baixo, na frente e à direita.

1. Lados do triângulo

PR: diagonal de uma face (quadrado de lado 1) → √2
RQ: diagonal do cubo da direita → √3
PQ: diagonal da face da frente do bloco 2 × 1 → √(2² + 1²) = √5

2. O triângulo é retângulo

(√2)² + (√3)² = 2 + 3 = 5 = (√5)², então o ângulo reto está em R.

3. Área

A = (√2 × √3) ÷ 2 = √6/2 dm²

Resposta: A

Dica: antes de usar fórmulas complicadas, teste se os lados satisfazem Pitágoras; um triângulo retângulo tem área "cateto × cateto ÷ 2".

Questão 5 · Famerp 2019 · Questão 75difícil

As bases do sólido ilustrado na figura 1, destacadas em amarelo, são figuras congruentes contidas em planos paralelos, que distam entre si 6 unidades de comprimento. A base inferior desse sólido, apresentada na figura 2, é limitada por arcos de circunferências centradas em (2, 0), (4, 0) e (4, 2) e por dois segmentos de reta.

Figura 1

O volume do sólido indicado na figura 1, em unidades de volume do sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, é igual a

A
17π.
B
18π.
C
16,5π.
D
16π.
E
17,5π.

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Gabarito: C

O sólido é um cilindro reto (paredes verticais): V = área da base × altura, com altura 6.

1. Área da base (figura 2): parta do quarto de círculo de centro (4, 0) e raio 4, que vai de (0, 0) a (4, 4):

π × 4² ÷ 4 = 4π

Dele foram retirados:

semicírculo de centro (2, 0) e raio 1: π ÷ 2
semicírculo de centro (4, 2) e raio 1: π ÷ 2
quarto de círculo de centro (4, 0) e raio 1: π ÷ 4

Total retirado: π/2 + π/2 + π/4 = 1,25π

Área = 4π – 1,25π = 2,75π

2. Volume: 2,75π × 6 = 16,5π

Resposta: C

Por que as outras atraem: 16π (D) e 17π (A) aparecem quando se conta errado um dos recortes (por exemplo, o quarto de círculo como semicírculo, ou esquecido).

Questão 6 · Famerp 2017 · Questão 2média

Um desodorante é vendido em duas embalagens de tamanhos diferentes, porém de formatos matematicamente semelhantes. A figura indica algumas das medidas dessas embalagens.

Se a capacidade da embalagem maior é de 100 mL, a capacidade da embalagem menor é de

A
64,0 mL.
B
48,6 mL.
C
56,4 mL.
D
80,0 mL.
E
51,2 mL.

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Gabarito: E

As embalagens são semelhantes. A razão de semelhança (menor ÷ maior) é

40 ÷ 50 = 0,8 (confere: 68 ÷ 85 = 0,8).

Volumes de sólidos semelhantes estão na razão do cubo da razão linear:

0,8³ = 0,512

Capacidade da menor = 0,512 × 100 mL = 51,2 mL.

Resposta: E

Por que as outras atraem: D (80 mL) usa a razão linear direto; A (64 mL) usa o quadrado (0,8² = 0,64), que vale para áreas, não para volumes.

Dica: razão k entre comprimentos → k² entre áreas → k³ entre volumes.