Dez livros idênticos foram distribuídos entre as vendedoras Ana, Beatriz, Carmen e Dirce, de modo que:
1. nenhuma delas ficou sem ao menos um livro;
2. Ana e Beatriz ficaram, juntas, com o dobro do número de livros de Carmen.
O número de maneiras diferentes que tal distribuição pode ser feita é
A
6.
B
8.
C
10.
D
9.
E
5.
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Gabarito: D
Sejam a, b, c, d os livros de Ana, Beatriz, Carmen e Dirce, todos ≥ 1, com a + b = 2c e a + b + c + d = 10.
Substituindo: 2c + c + d = 10 → 3c + d = 10, com d ≥ 1 e a + b = 2c ≥ 2.
c = 1: d = 7; a + b = 2 → (1, 1): 1 maneira.
c = 2: d = 4; a + b = 4 → (1,3), (2,2), (3,1): 3 maneiras.
c = 3: d = 1; a + b = 6 → a de 1 a 5: 5 maneiras.
c = 4 daria d = −2: impossível.
Total: 1 + 3 + 5 = 9.
Resposta: D
Dica: use a condição para eliminar variáveis e depois faça os casos de quem sobrou.
Questão 2 · Famerp 2021 · Questão 76média
Em uma empresa, o número de pessoas atuando na limpeza em cada dia pode variar de 1 a 9, dependendo da ocupação do prédio. Para compor a equipe de cada dia, a empresa conta com 5 funcionários experientes e 4 em treinamento. Sabendo que a equipe de limpeza de um dia deve ter, necessariamente, um funcionário experiente a mais do que a quantidade de funcionários em treinamento, o total de equipes diferentes que podem ser formadas é igual a
A
104.
B
116.
C
120.
D
126.
E
132.
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Gabarito: D
Se a equipe tem t funcionários em treinamento, tem t + 1 experientes. Como há 4 em treinamento e 5 experientes, t vai de 0 a 4. Para cada caso, multiplique as escolhas:
t = 0: C(5,1) × C(4,0) = 5 × 1 = 5
t = 1: C(5,2) × C(4,1) = 10 × 4 = 40
t = 2: C(5,3) × C(4,2) = 10 × 6 = 60
t = 3: C(5,4) × C(4,3) = 5 × 4 = 20
t = 4: C(5,5) × C(4,4) = 1 × 1 = 1
Total: 5 + 40 + 60 + 20 + 1 = 126 (equipes de 1 a 9 pessoas, dentro do permitido).
Resposta: D
Por que as outras atraem: esquecer o caso t = 0 (equipe de 1 experiente) dá 121; esquecer t = 4 dá 125.
Dica: quando a condição liga dois grupos, separe em casos e some; dentro de cada caso, multiplique.
Questão 3 · Famerp 2018 · Questão 76fácil
Lucas possui 6 livros diferentes e Milton possui 8 revistas diferentes. Os dois pretendem fazer uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possibilidades distintas para que essa troca possa ser feita é igual a
A
1 040.
B
684.
C
980.
D
1 120.
E
364.
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Gabarito: D
A ordem dos itens trocados não importa: são combinações.